texvc - حيمجموعة في التحليل الوظيفي والتخصصات ذات الصلة هي مثل هذه المجموعة ، والتي تتم إزالة كل نقطة منها مجموعة معينةليس أكثر من تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon
.
تعريفات
- اسمحوا ان تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ
texvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): (X، \ varrho)هي مساحة مترية ، تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): x_0 \ in X،و تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon> 0. تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon-حي تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcيسمى مجموعة
texvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / README للحصول على تعليمات الإعداد.): U _ (\ varepsilon) (x_0) = \ (x \ in X \ mid \ varrho (x، x_0)< \varepsilon \}.
- دعونا نعطي مجموعة فرعية تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ
texvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): A \ subset X.ثم تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon-جوار هذا الطقم يسمى المجموعة
texvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / README للحصول على تعليمات الإعداد.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ bigcup \ limits_ (x \ in A) U _ (\ varepsilon) (x).
ملاحظات
- تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ
texvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon-جوار نقطة تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): x_0هكذا تسمى الكرة المفتوحة المتمركزة في تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): x_0ونصف القطر تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذtexvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilon. - يتبع مباشرة من التعريف أن
texvcلم يتم العثور على؛ انظر الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ (x \ in X \ mid \ موجود y \ in A \ ؛ \ varrho (x، y)< \varepsilon\}.
- تعذر تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ
texvcلم يتم العثور على؛ راجع الرياضيات / التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \ varepsilonالحي هو حي وعلى وجه الخصوص مكان مفتوح.
أمثلة
أكتب مراجعة عن مقال "حي إبسيلون"
مقتطف يميز حي إبسيلون
- حسنا ، ماذا - اسمع؟ دفعتني الفتاة الصغيرة بفارغ الصبر.اقتربنا ... وشعرت بلمسة رائعة ناعمة لموجة متلألئة ... لقد كان شيئًا لطيفًا بشكل لا يصدق ، وعاطفيًا ومريحًا بشكل مدهش ، وفي نفس الوقت ، تخترق في "عمق" دهشتي وحذري قليلاً الروح ... "موسيقى" هادئة ركضت على قدمي ، تهتز بملايين الألوان المختلفة ، وبدأت تغلفني بشيء رائع ، شيء يتجاوز الكلمات ... شعرت أنني كنت أطير ، على الرغم من وجود لم تكن أي رحلة حقيقية. كان رائعًا! .. تذوبت كل خلية وذابت في الموجة الجديدة القادمة ، وغسلني الذهب الفوار ، وأزال كل شيء سيئًا وحزينًا ، ولم يتبق سوى النور النقي البدائي في روحي ...
لم أشعر حتى كيف دخلت وغرقت في هذه المعجزة البراقة تقريبًا برأسي. لقد كان جيدًا بشكل لا يصدق ولم أرغب أبدًا في المغادرة هناك ...
- حسنًا ، هذا يكفي بالفعل! لدينا عمل ينتظرنا! اقتحم صوت ستيلا الحازم الجمال المتلألئ. - هل أحببتها؟
- آه كيف! تنفست. - لم أرغب في الخروج!
- بالضبط! لذا بعض "الحمام" حتى التجسد التالي ... وبعد ذلك لن يعودوا إلى هنا بعد الآن ...
يتم النظر في التعريف العام لحي نقطة على الخط الحقيقي. تعاريف أحياء إبسيلون والأحياء اليسرى واليمنى والمثقوبة لنقاط النهاية وفي اللانهاية. ملكية الحي. تم إثبات نظرية حول معادلة استخدام حي إبسيلون وجوار تعسفي في تعريف حد كوشي لوظيفة ما.
محتوىتحديد حي النقطة
حي من النقطة الحقيقية س 0
يسمى أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على هذه النقطة:
.
هنا ε 1
و ε 2
هي أرقام موجبة عشوائية.
إبسيلون - حي النقطة س 0
تسمى مجموعة النقاط ، وهي المسافة التي تبدأ منها حتى النقطة x 0
أقل من ε:
.
الجوار المثقوب للنقطة س 0
يسمى جوار هذه النقطة ، حيث تم استبعاد النقطة x نفسها 0
:
.
نقاط نهاية الجوار
في البداية ، تم تقديم تعريف الحي للنقطة. تم تعيينه كـ. لكن يمكنك تحديد أن الحي يعتمد على رقمين باستخدام الوسيطات المناسبة:
(1)
.
أي ، الحي عبارة عن مجموعة من النقاط التي تنتمي إلى فترة زمنية مفتوحة.
معادلة ε 1
إلى ε 2
، نحصل على إبسيلون - الحي:
(2)
.
إبسيلون - الحي - عبارة عن مجموعة من النقاط التي تنتمي إلى فاصل مفتوح بنهايات متساوية البعد.
بالطبع ، يمكن استبدال حرف إبسيلون بأي حرف آخر ويمكننا اعتبار δ - الحي ، σ - الحي ، وما إلى ذلك.
في نظرية الحدود ، يمكن للمرء استخدام تعريف الحي بناءً على كل من المجموعة (1) والمجموعة (2). استخدام أي من هذه الأحياء يعطي نتائج مكافئة (انظر). لكن التعريف (2) أبسط ، لذلك ، غالبًا ما يتم استخدام إبسيلون - جوار نقطة محددة من (2).
كما يتم استخدام مفاهيم أحياء نقاط النهاية ذات اليد اليسرى واليمنى والمثقبة على نطاق واسع. نقدم تعريفاتهم.
الحي الأيسر لنقطة حقيقية س 0
هي الفترة الزمنية نصف المفتوحة الواقعة على المحور الحقيقي على يسار x 0
، بما في ذلك النقطة نفسها:
;
.
الحي الأيمن لنقطة حقيقية س 0
هي الفترة الزمنية نصف المفتوحة الواقعة على يمين x 0
، بما في ذلك النقطة نفسها:
;
.
ثقوب أحياء نقطة النهاية
مثقوب أحياء من النقطة x 0 هي نفس الأحياء التي يتم استبعاد النقطة نفسها منها. يتم تحديدها بدائرة فوق الحرف. نقدم تعريفاتهم.
الجوار المثقوب للنقطة س 0
:
.
ثقب إبسيلون - حي النقطة س 0
:
;
.
ثقب في الحي الأيسر:
;
.
مثقوب الحي الأيمن:
;
.
أحياء من النقاط في اللانهاية
إلى جانب نقاط النهاية ، يتم أيضًا تقديم فكرة جوار النقاط في اللانهاية. يتم ثقبها جميعًا لأنه لا يوجد عدد حقيقي عند اللانهاية (يتم تعريف اللانهاية على أنها حد تسلسل كبير لانهائي).
.
;
;
.
كان من الممكن تحديد أحياء النقاط البعيدة بشكل غير محدود وهكذا:
.
لكن بدلاً من M ، نستخدم ، بحيث يكون الحي الذي يحتوي على أصغر ε مجموعة فرعية من حي به أكبر ε ، تمامًا مثل أحياء نقاط النهاية.
ملكية الحي
بعد ذلك ، نستخدم الخاصية الواضحة لمجاور النقطة (محدودة أو في اللانهاية). يكمن في حقيقة أن مجاورات النقاط ذات القيم الأصغر لـ هي مجموعات فرعية من الأحياء ذات قيم أكبر لـ. نقدم صيغ أكثر صرامة.
يجب ألا تكون هناك نقطة محدودة أو بعيدة بشكل لانهائي. دعها تذهب.
ثم
;
;
;
;
;
;
;
.
التأكيدات العكسية صحيحة أيضًا.
معادلة تعريفات حد الوظيفة وفقًا لكوشي
سنبين الآن أنه في تعريف حد الوظيفة وفقًا لـ Cauchy ، يمكن للمرء استخدام كل من الحي التعسفي والحي ذي النهايات المتساوية.
نظرية
إن تعريفات كوشي لحد الوظيفة التي تستخدم الأحياء والأحياء العشوائية ذات النهايات المتساوية الأبعاد متكافئة.
دليل
دعونا نصيغ أول تعريف لنهاية الدالة.
الرقم أ هو حد دالة عند نقطة (محدودة أو ما لا نهاية) إذا كانت هناك أرقام موجبة تعتمد على أي أرقام موجبة ، وهذا بالنسبة للجميع ، ينتمي إلى المنطقة المجاورة المقابلة للنقطة أ:
.
دعونا نصيغ التعريف الثاني لنهاية الدالة.
الرقم أ هو حد الوظيفة عند النقطة ، إذا كان هناك رقم يعتمد على أي رقم موجب ، بحيث يكون للجميع:
.
إثبات 1 2
دعنا نثبت أنه إذا كان الرقم a هو حد الوظيفة بالتعريف الأول ، فهو أيضًا الحد من التعريف الثاني.
دع التعريف الأول يصمد. هذا يعني أن هناك مثل هذه الوظائف ، وبالتالي بالنسبة لأية أرقام موجبة ، فإن ما يلي هو:
في وأين.
نظرًا لأن الأرقام عشوائية ، فنحن نساويها:
.
ثم هناك وظائف ، وبالتالي لأي من عمليات التعليق التالية:
في وأين.
لاحظ أن .
اسمحوا ان يكون اصغر رقم موجب و. ثم ، كما هو مذكور أعلاه ،
.
اذا ثم .
أي أننا وجدنا مثل هذه الوظيفة ، بحيث يكون أي مما يلي صحيحًا:
في وأين.
هذا يعني أن الرقم أ هو نهاية الدالة وبالتعريف الثاني.
إثبات 2 1
دعنا نثبت أنه إذا كان الرقم a هو حد الوظيفة بالتعريف الثاني ، فهو أيضًا الحد الأقصى للتعريف الأول.
دع التعريف الثاني يصمد. خذ عددين موجبين و. وليكن أصغرهم. ثم ، وفقًا للتعريف الثاني ، توجد مثل هذه الوظيفة ، بحيث تتبع ذلك لأي رقم موجب وللجميع
.
لكن بحسب. لذلك ، مما يلي ،
.
ثم لأي أعداد موجبة ، وقد وجدنا رقمين ، لذلك للجميع:
.
هذا يعني أن الرقم أ هو أيضًا الحد حسب التعريف الأول.
لقد تم إثبات النظرية.
مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
الحد الأدنى النظريمفهوم الحد كما هو مطبق على المتواليات العددية قد تم تقديمه بالفعل في الموضوع "".
يوصى بقراءة المواد الموجودة هناك أولاً.بالانتقال إلى موضوع هذا الموضوع ، نتذكر مفهوم الوظيفة. الوظيفة هي مثال آخر على رسم الخرائط. سننظر في أبسط حالة
وظيفة حقيقية لحجة حقيقية واحدة (وهي تعقيد الحالات الأخرى - ستتم مناقشتها لاحقًا). يتم فهم الوظيفة ضمن هذا الموضوع على أنها
القانون الذي بموجبه يتم تعيين عنصر واحد أو أكثر لكل عنصر من عناصر المجموعة التي يتم تحديد الوظيفة
مجموعة تسمى مجموعة قيم الوظيفة. إذا كان كل عنصر من عناصر نطاق الوظيفة مرتبطًا بعنصر واحد
مجموعة من القيم ، ثم تسمى الوظيفة أحادية القيمة ، وإلا فإن الوظيفة تسمى متعددة القيم. هنا ، من أجل البساطة ، سنتحدث فقط عن
وظائف لا لبس فيها.أود أن أؤكد على الفور الاختلاف الأساسي بين الوظيفة والتسلسل: المجموعات المتصلة بالتعيين في هاتين الحالتين مختلفة بشكل أساسي.
لتجنب الحاجة إلى استخدام مصطلحات الهيكل العام ، نشرح الاختلاف بمساعدة التفكير غير الدقيق. عند مناقشة الحد
التسلسل ، تحدثنا عن خيار واحد فقط: النمو غير المحدود لعدد عنصر التسلسل. مع زيادة العدد ، العناصر نفسها
التسلسل تصرف بشكل مختلف كثيرًا. يمكنهم "التراكم" في حي صغير لعدد معين ؛ يمكن أن تنمو إلى أجل غير مسمى ، وما إلى ذلك.
بشكل تقريبي ، فإن تخصيص تسلسل هو تخصيص وظيفة على "مجال" منفصل. إذا تحدثنا عن الوظيفة ، يتم تقديم تعريفها
في بداية الموضوع ، يجب بناء مفهوم الحد بعناية أكبر. من المنطقي التحدث عن حدود الوظيفة عندما تميل حجتها إلى قيمة معينة .
لم تكن صياغة السؤال منطقية فيما يتعلق بالتسلسلات. هناك حاجة لتقديم بعض التوضيحات. كل منهم مرتبط ب
كيف تميل الحجة بالضبط إلى القيمة المعنية.لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة - الآن بشكل عابر:
ستسمح لنا هذه الوظائف بالنظر في أكثر من غيرها حالات مختلفة. نقدم هنا الرسوم البيانية لهذه الوظائف لمزيد من الوضوح في العرض.الوظيفة لها حدود في أي نقطة في مجال التعريف - وهذا واضح بشكل حدسي. مهما كانت نقطة مجال التعريف التي نتخذها ،
يمكنك على الفور معرفة القيمة التي تميل إليها الوظيفة عندما تميل الوسيطة إلى القيمة المحددة ، وسيكون الحد محدودًا ، ما لم تكن الوسيطة
لا يذهب إلى ما لا نهاية. الرسم البياني للدالة به فاصل. هذا يؤثر على خصائص الوظيفة عند نقطة الفاصل ، ولكن من وجهة نظر الحد
لم يتم تسليط الضوء على هذه النقطة. تعد الوظيفة بالفعل أكثر إثارة للاهتمام: في هذه المرحلة ، ليس من الواضح ما هي قيمة الحد الذي يجب تعيينه للوظيفة.
إذا اقتربنا من النقطة على اليمين ، فإن الوظيفة تميل إلى قيمة واحدة ، إذا كانت على اليسار ، تميل الوظيفة إلى قيمة أخرى. في السابق
لم تكن الأمثلة. الوظيفة ، عندما تميل إلى الصفر ، حتى على اليسار ، حتى على اليمين ، تتصرف بنفس الطريقة ، تميل إلى اللانهاية -
على النقيض من الوظيفة ، التي تميل إلى اللانهاية حيث تميل الحجة إلى الصفر ، لكن علامة اللانهاية تعتمد على كيفية
الجانب نصل إلى الصفر. أخيرًا ، تتصرف الوظيفة عند الصفر بشكل غير مفهوم تمامًا.نقوم بإضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الحد باستخدام لغة دلتا إبسيلون. سيكون الاختلاف الرئيسي من تعريف حد التسلسل هو الحاجة
يصف رغبة حجة الوظيفة لبعض القيمة. وهذا يتطلب فكرة نقطة حدود المجموعة ، والتي تعد مساعدة في هذا السياق.
تسمى النقطة بنقطة التحديد للمجموعة إذا كانت في أي حييحتوي على عدد لا حصر له من النقاط ،
ينتمون إلى ويختلفون عن. بعد ذلك بقليل سيتضح سبب الحاجة إلى مثل هذا التعريف.لذلك ، يسمى الرقم حد الوظيفة عند النقطة ، وهي نقطة نهاية المجموعة ، والتي يتم تحديدها
وظيفة إذا
دعونا نحلل هذا التعريف واحدًا تلو الآخر. هنا نفرد الأجزاء المتعلقة برغبة الحجة في قيمة الوظيفة ورغبتها
للقيمة. يجب على المرء أن يفهم المعنى العام للبيان المكتوب ، والذي يمكن تفسيره تقريبًا على النحو التالي.
تميل الوظيفة إلى متى ، إذا أخذنا رقمًا من منطقة صغيرة بما يكفي للنقطة ، فسنقوم بذلك
الحصول على قيمة الوظيفة من حي صغير بدرجة كافية من الرقم. والأصغر ستكون مجاورة للنقطة التي أخذت منها القيم
الوسيطة ، سيكون الأصغر هو المنطقة المجاورة للنقطة التي ستقع فيها القيم المقابلة للدالة.دعونا نعود مرة أخرى إلى التعريف الرسمي للحد ونقرأه في ضوء ما قيل للتو. العدد الموجب يحد من الجوار
النقطة التي سنأخذ منها قيم الحجة. علاوة على ذلك ، فإن قيم الوسيطة ، بالطبع ، هي من نطاق الوظيفة ولا تتطابق مع الوظيفة نفسها.
النقطة: نكتب طموح وليس صدفة! لذلك إذا أخذنا قيمة الوسيطة من الحي المحدد للنقطة ،
عندئذٍ تقع قيمة الوظيفة في حي النقطة.
أخيرًا ، نجمع التعريف معًا. بغض النظر عن مدى صغر حجمنا الذي نختاره - الأحياء المجاورة للنقطة ، فسيكون هناك دائمًا مثل هذا الحي للنقطة ،
أنه عند اختيار قيم الحجة منه ، سنصل إلى جوار النقطة. بالطبع ، الحجم هو حي من نقطة في هذه الحالة
يعتمد على أي حي من النقطة تم إعطاؤه. إذا كان جوار قيمة الوظيفة كبيرًا بدرجة كافية ، فسيتم توزيع القيم المقابل
الحجة ستكون كبيرة. مع انخفاض بالقرب من قيمة الوظيفة ، سينخفض أيضًا الانتشار المقابل في قيم الوسيطة (انظر الشكل 2).يبقى توضيح بعض التفاصيل. أولاً ، شرط أن تكون النقطة حدًا يلغي الحاجة إلى الاهتمام بهذه النقطة
من - الحي ينتمي عمومًا إلى مجال الوظيفة. ثانياً: المشاركة في تحديد حد الشرطيعني
أن الحجة يمكن أن تقترب من قيمة إما من اليسار أو اليمين.بالنسبة للحالة التي تميل فيها حجة الوظيفة إلى اللانهاية ، يجب تعريف مفهوم نقطة الحد بشكل منفصل. يسمى الحد
ضع نقطة إذا كان الفاصل الزمني يحتوي على مجموعة غير معدودة لأي رقم موجب
نقطة من المجموعة.دعنا نعود إلى الأمثلة. الوظيفة ليست ذات أهمية خاصة بالنسبة لنا. دعنا نلقي نظرة فاحصة على الميزات الأخرى.
أمثلة.
مثال 1 الرسم البياني للوظيفة لديه التواء.
دورعلى الرغم من التفرد في نقطة ما ، إلا أنه له حدود في هذه المرحلة. التفرد عند الصفر هو فقدان النعومة.
مثال 2 حدود من جانب واحد.
الوظيفة عند نقطة ما ليس لها حدود. كما لوحظ بالفعل ، لوجود حد ، فمن المطلوب متى
على اليسار واليمين ، تطمح الوظيفة إلى نفس القيمة. من الواضح أن هذا ليس هو الحال هنا. ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يقدم فكرة الحد من جانب واحد.
إذا كانت الحجة تميل إلى قيمة معينة من جانب القيم الأكبر ، فعندئذٍ يتحدث المرء عن حد اليد اليمنى ؛ إذا كان من جانب القيم الأصغر -
حول الحد الأيسر.
في حالة الوظيفة- حد اليد اليمنى ومع ذلك ، يمكننا إعطاء مثال عندما لا تتداخل تقلبات الجيب اللانهائية مع وجود الحد (علاوة على ذلك ، على الوجهين).
مثال على ذلك سيكون الوظيفة. الرسم البياني أدناه ؛ من المفهوم أن نبنيها حتى النهاية في الحي
الأصل غير ممكن. النهاية عند تساوي صفرًا.ملاحظات .
1. هناك طريقة لتحديد حد الوظيفة التي تستخدم حد التسلسل - ما يسمى. تعريف هاينه. هناك ، يتم إنشاء سلسلة من النقاط التي تتقارب مع القيمة المطلوبة
الوسيطة - عندئذٍ يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة مع حد الوظيفة لقيمة هذه الوسيطة. معادلة تعريف هاين وتعريف اللغة
تم إثبات "إبسيلون دلتا".
2. إن حالة دوال وسيطتين أو أكثر معقدة بسبب حقيقة أنه بالنسبة لوجود حد عند نقطة ما ، يلزم أن تكون قيمة النهاية هي نفسها لأي طريقة تميل الحجة إلى
إلى القيمة المطلوبة. إذا كانت هناك حجة واحدة فقط ، فيمكنك السعي للحصول على القيمة المطلوبة من اليسار أو اليمين. متي أكثرالمتغيرات ، يزداد عدد الخيارات بشكل كبير. حالة الوظائف
متغير معقد ويتطلب مناقشة منفصلة.
ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟
من مسار الجبر ، نعرف الترميز التالي:
- المُحدِّد الكَمِّي يعني - "لأي" ، "للجميع" ، "لكل" ، أي يجب قراءة الإدخال "لأي إبسيلون إيجابي" ؛
- مُحدد وجودي ، - هناك قيمة تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.
- تتم قراءة العصا العمودية الطويلة على النحو التالي: "من هذا القبيل" ، "مثل ذلك" ، "مثل ذلك" أو "مثل هذا" ، في حالتنا ، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - وبالتالي "مثل هذا" ؛
- لكل "en" أكبر من ؛
- تعني علامة المعامل المسافة ، أي يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.
تحديد نهاية التسلسل
في الواقع ، دعنا نفكر قليلاً - كيف نصوغ تعريفًا صارمًا للتسلسل؟ ... أول ما يتبادر إلى الذهن في ضوء الدرس العملي هو: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه أعضاء التسلسل بشكل لا نهائي."
حسنًا ، لنكتب التسلسل:
من السهل أن ترى أن النتيجة اللاحقة قريبة بلا حدود من الرقم -1 ، وأن الحدود ذات الأرقام الزوجية قريبة من "واحد".
ربما حدين؟ ولكن لماذا لا يمكن أن يحتوي تسلسل ما على عشرة أو عشرين منهم؟ بهذه الطريقة يمكنك الذهاب بعيدا. في هذا الصدد ، من المنطقي أن نفترض أنه إذا كان للتسلسل حد ، فهو فريد.
ملحوظة: التسلسل ليس له حدود ، ولكن يمكن تمييز تتابعين متتابعين عنه (انظر أعلاه) ، لكل منهما حده الخاص.
وبالتالي ، فقد تبين أن التعريف أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم ، إنه يعمل مع حالات مثل (التي لم أستخدمها بشكل صحيح تمامًا في التفسيرات المبسطة للأمثلة العملية) ، لكننا الآن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.
المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه كل أعضاء التسلسل ، باستثناء ربما عدد محدود منهم." هذا أقرب إلى الحقيقة ، لكنه لا يزال غير دقيق تمامًا. لذلك ، على سبيل المثال ، في تسلسل ، نصف الأعضاء لا يقتربون من الصفر على الإطلاق - فهم ببساطة يساويونه =) بالمناسبة ، يأخذ "الضوء الوامض" عمومًا قيمتين ثابتتين.
ليس من الصعب توضيح الصياغة ، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيف تكتب التعريف بمصطلحات رياضية؟ كافح العالم العلمي مع هذه المشكلة لفترة طويلة ، حتى تم حل الموقف من قبل المايسترو الشهير ، الذي قام ، في جوهره ، بإضفاء الطابع الرسمي على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامة. اقترح كوشي العمل مع الأحياء ، مما أدى إلى تقدم النظرية بشكل كبير.
ضع في اعتبارك نقطة ما وجوارها التعسفي:
دائمًا ما تكون قيمة "إبسيلون" إيجابية ، علاوة على ذلك ، نحن أحرار في اختياره بأنفسنا. افترض أنه يوجد في حي معين مجموعة من الأعضاء (ليس بالضرورة جميعهم) من تسلسل ما. كيف تدون حقيقة أن المصطلح العاشر ، على سبيل المثال ، وقع في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقطتين ويجب أن تكون أقل من "إبسيلون":. ومع ذلك ، إذا كانت "x 10" تقع على يسار النقطة "a" ، فسيكون الفرق سالبًا ، وبالتالي يجب إضافة علامة الوحدة النمطية إليها:.
التعريف: يسمى الرقم بحد التسلسل إذا كان هناك رقم طبيعي لأي من الأحياء (المختارة مسبقًا) - مثل أن يكون جميع أعضاء التسلسل بأرقام أعلى داخل الحي:
أو أقصر: إذا
بعبارة أخرى ، بغض النظر عن صغر قيمة "إبسيلون" التي نأخذها ، عاجلاً أم آجلاً "الذيل اللانهائي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي.
لذلك ، على سبيل المثال ، "الذيل اللانهائي" من التسلسل سيذهب بالكامل إلى أي حي صغير تعسفي للنقطة ، وبالتالي ، هذه القيمة هي حد التسلسل بحكم التعريف. أذكرك أن التسلسل الذي يكون حده صفر يسمى صغير بلا حدود.
وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل ، لم يعد من الممكن قول "سيدخل ذيل لانهائي" - المصطلحات ذات الأرقام الفردية تساوي في الواقع صفر و "لا تذهب إلى أي مكان" =) لهذا الفعل "النهاية" up "في التعريف. وبطبيعة الحال ، فإن أعضاء مثل هذا التسلسل مثل "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة ، تحقق مما إذا كان الرقم سيكون الحد الأقصى.
دعونا نظهر الآن أن التسلسل ليس له حدود. تأمل ، على سبيل المثال ، حي النقطة. من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم ، وبعد ذلك سيكون أعضاء ALL في هذا الحي - فالأعضاء الفرديون سوف "يقفزون" دائمًا إلى "ناقص واحد". لسبب مماثل ، لا يوجد حد في هذه النقطة.
إثبات أن نهاية المتسلسلة هي صفر. حدد الرقم ، وبعد ذلك يتم ضمان وجود جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير تعسفي للنقطة.
ملاحظة: بالنسبة للعديد من المتواليات ، يعتمد العدد الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاءت التسمية.
الحل: ضع في اعتبارك حيًا عشوائيًا للنقطة وتحقق مما إذا كان هناك رقم - بحيث تكون جميع المصطلحات ذات الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:
لإظهار وجود الرقم المطلوب ، نعبر عنه من حيث.
نظرًا لأنه لأي قيمة "en" ، يمكن إزالة علامة المقياس:
نحن نستخدم أفعال "المدرسة" مع عدم المساواة ، والتي كررتها في الدروس عدم المساواة الخطية ومجال تعريف الوظيفة. في هذه الحالة ، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و "en" موجبتان:
نظرًا لأننا على اليسار نتحدث عن الأعداد الطبيعية ، والجانب الأيمن في الحالة العامةكسري ، ثم يجب تقريبه:
ملحوظة: في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى اليمين لإعادة التأمين ، ولكن هذا في الواقع يعتبر مبالغة. نسبيًا ، إذا أضعفنا النتيجة أيضًا بالتقريب لأسفل ، فسيظل أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") يحقق المتباينة الأصلية.
والآن ننظر إلى عدم المساواة ونتذكر أننا في البداية اعتبرنا حيًا عشوائيًا ، أي يمكن أن تكون "epsilon" مساوية لأي رقم موجب.
انتاج | : لأي حي صغير تعسفيًا للنقطة ، تم العثور على قيمة بحيث ينطبق عدم المساواة على جميع الأعداد الأكبر. وبالتالي ، فإن الرقم هو حد التسلسل بحكم التعريف. Q.E.D.
بالمناسبة ، من النتيجة التي تم الحصول عليها ، يمكن رؤية النمط الطبيعي بوضوح: كلما كان الحي أصغر ، زاد العدد الذي سيكون بعده جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "إبسيلون" ، فسيكون هناك دائمًا "ذيل لانهائي" في الداخل والخارج - حتى عدد كبير ولكن محدود من الأعضاء.