Existuje mnoho způsobů, jak reprezentovat čísla. V každém případě je číslo reprezentováno symbolem nebo skupinou symbolů (slovem) nějaké abecedy. Takové symboly se nazývají čísla.

Číselné soustavy

K reprezentaci čísel se používají nepoziční a poziční číselné soustavy.

Nepoziční číselné soustavy

Jakmile lidé začali počítat, začali mít potřebu zapisovat čísla. Nálezy archeologů na místech primitivních lidí naznačují, že zpočátku byl počet objektů zobrazen stejným počtem ikon (tagů): zářezy, čárky, tečky. Později, aby bylo počítání jednodušší, se tyto ikony začaly sdružovat do skupin po třech nebo pěti. Tento systém zápisu čísel se nazývá jednotka (unární), protože jakékoli číslo v něm je tvořeno opakováním jednoho znaku, který symbolizuje jeden. Ozvěny systému čísel jednotek se nacházejí dodnes. Chcete-li tedy zjistit, v jakém kurzu kadet vojenské školy studuje, musíte spočítat, kolik pruhů má našitých na jeho rukávu. Aniž si to uvědomují, děti používají číselný systém jednotek, ukazující svůj věk na prstech, a počítací tyčinky se používají k tomu, aby se žáci 1. stupně naučili počítat. Uvažujme různé systémy Zúčtování.

Jednotkový systém není nejpohodlnější způsob zápisu čísel. Napište to takto velké množství Je to zdlouhavé a samotné noty se zdají být velmi dlouhé. Postupem času vznikly jiné, pohodlnější číselné soustavy.

Starověký egyptský desítkový nepoziční číselný systém. Kolem třetího tisíciletí před naším letopočtem přišli staří Egypťané s vlastním číselným systémem, ve kterém byla klíčová čísla 1, 10, 100 atd. byly použity speciální ikony - hieroglyfy. Všechna ostatní čísla byla složena z těchto klíčových čísel pomocí operace sčítání. Číselná soustava starověkého Egypta je desítková, ale nepoziční. V nepozičních číselných soustavách kvantitativní ekvivalent každé číslice nezávisí na její pozici (místu, pozici) v číselném záznamu. Například pro zobrazení 3252 byly nakresleny tři lotosové květy (tři tisíce), dva svinuté palmové listy (dvě stovky), pět oblouků (pět desítek) a dva kůly (dvě jednotky). Velikost čísla nezávisela na pořadí, ve kterém se nacházely jeho znaky: mohly být psány shora dolů, zprava doleva nebo proloženy.

Římský číselný systém. Příkladem nepozičního systému, který přežil dodnes, je číselný systém, který se používal před více než dvěma a půl tisíci lety ve starém Římě. Římský číselný systém byl založen na znacích I (jeden prst) pro číslo 1, V (otevřená dlaň) pro číslo 5, X (dvě složené dlaně) pro 10 a první písmena odpovídajících latinských slov začala být používá se k označení čísel 100, 500 a 1000 (Centum – sto, Demimille – půl tisíce, Mille – tisíc). Aby si Římané zapsali číslo, rozložili ho na součet tisíců, půl tisíc, stovek, padesáti, desítek, pat, jednotek. Například desetinné číslo 28 je znázorněno takto:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (dvě desítky, paty, tři jedničky).

K zaznamenávání mezičíslí používali Římané nejen sčítání, ale i odčítání. V tomto případě bylo použito následující pravidlo: každé menší znaménko umístěné napravo od většího se přičte k jeho hodnotě a každé menší znaménko umístěné nalevo od většího se od něj odečte. Například IX znamená 9, XI znamená 11.

Desetinné číslo 99 má následující reprezentaci:

XCIХ = –10+100–1+10.

Římské číslice se používají již velmi dlouho. Ještě před 200 lety se v obchodních papírech musela čísla označovat římskými číslicemi (věřilo se, že běžné arabské číslice lze snadno padělat). Systém římských čísel se dnes používá především pro pojmenování významných dat, svazků, oddílů a kapitol v knihách.

Abecední číselné soustavy. Abecední soustavy byly pokročilejší nepoziční číselné soustavy. Mezi takové číselné soustavy patřily řecké, slovanské, fénické a další. V nich byla písmeny abecedy označena čísla od 1 do 9, celá čísla desítek (od 10 do 90) a celá čísla stovek (od 100 do 900). V abecední číselné soustavě Starověké Řeckočísla 1, 2, ..., 9 byla označena prvními devíti písmeny řecké abecedy atd. Následujících 9 písmen bylo použito k označení čísel 10, 20, ..., 90 a posledních 9 písmen bylo použito k označení čísel 100, 200, ..., 900.

U slovanských národů byly číselné hodnoty písmen stanoveny v pořadí slovanské abecedy, která používala nejprve hlaholici a poté cyrilici.

V Rusku se slovanské číslování zachovalo až do konce 17. století. Za Petra I. převládalo tzv. arabské číslování, které používáme dodnes. Slovanské číslování se zachovalo pouze v liturgických knihách.

Nepoziční číselné systémy mají řadu významných nevýhod:

• Neustále je potřeba zavádět nové symboly pro záznam velkých čísel.

• Je nemožné reprezentovat zlomková a záporná čísla.

• Je obtížné provádět aritmetické operace, protože neexistují žádné algoritmy pro jejich provádění.

Poziční číselné soustavy

V pozičních číselných soustavách závisí kvantitativní ekvivalent každé číslice na její pozici (pozici) v kódu (záznamu) čísla. V dnešní době jsme zvyklí používat desetinnou poziční soustavu - čísla se zapisují pomocí 10 číslic. Číslice úplně vpravo označuje jednotky, jedna vlevo - desítky, ještě více vlevo - stovky atd.

Například: 1) sexagesimální (starověký Babylon) – první poziční číselný systém. Dosud se při měření času používá základ 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) duodecimální číselný systém (číslo 12 – „tucet“ – bylo široce používáno v 19. století: den má dva tucty hodin). Počítání ne na prstech, ale na kloubech. Každý prst, kromě palce, má 3 články – celkem 12; 3) v současnosti jsou nejběžnější poziční číselné soustavy dekadické, binární, osmičkové a šestnáctkové (velmi používané v nízkoúrovňovém programování a v počítačové dokumentaci obecně, od r. moderní počítače Minimální jednotkou paměti je 8bitový bajt, jehož hodnoty se pohodlně zapisují ve dvou hexadecimálních číslicích).

V jakémkoli pozičním systému může být číslo reprezentováno jako polynom.

Pojďme si ukázat, jak reprezentovat desetinné číslo jako polynom:

Typy číselných soustav

Nejdůležitější věc, kterou potřebujete vědět o číselném systému, je jeho typ: aditivní nebo multiplikativní. V prvním typu má každá číslice svůj vlastní význam a pro přečtení čísla musíte sečíst všechny hodnoty použitých číslic:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Ve druhém typu může mít každá číslice různý význam v závislosti na jejím umístění v čísle:

(hieroglyfy v pořadí: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Hieroglyf „2“ je zde použit dvakrát a v každém případě nabyl různých významů „2000“ a „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

U aditivního („doplňkového“) systému potřebujete znát všechna čísla a symboly s jejich významy (je jich až 4-5 tuctů) a pořadí záznamu. Například v latinské notaci, pokud je menší číslice napsána před větší, provede se odčítání, a pokud po, ​​pak sčítání (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Pro multiplikativní systém potřebujete znát obraz čísel a jejich význam a také základ číselné soustavy. Určení základu je velmi snadné, stačí si přepočítat počet platných číslic v soustavě. Zjednodušeně řečeno je to číslo, od kterého začíná druhá číslice čísla. Například použijeme čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Je jich přesně 10, takže základ naší číselné soustavy je také 10 a číselná soustava je nazývané „desítkové“. Výše uvedený příklad používá čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomocné 10, 100, 1000, 10000 atd. se nepočítají). Je zde také 10 hlavních čísel a číselná soustava je desítková.

Jak můžete hádat, kolik čísel je, může být tolik základen číselné soustavy. Používají se však pouze nejpohodlnější základy číselných soustav. Proč si myslíte, že základem nejpoužívanější lidské číselné soustavy je 10? Ano, právě proto, že máme na rukou 10 prstů. "Ale na jedné ruce je jen pět prstů," řeknou někteří a budou mít pravdu. Historie lidstva zná příklady pětinásobných číselných soustav. "A u nohou je dvacet prstů," řeknou jiní a budou mít také naprostou pravdu. Přesně tomu věřili Mayové. Je to vidět i na jejich počtu.

Koncept „tuctu“ je velmi zajímavý. Každý ví, že je to 12, ale málokdo ví, odkud se toto číslo vzalo. Podívejte se na své ruce, nebo spíše na jednu ruku. Kolik falangů je na všech prstech jedné ruky, nepočítaje palec? Přesně tak, dvanáct. A palec je určen k označení spočítaných článků prstů.

A když si na druhou stranu označíme prsty počet celých desítek, dostaneme známý šestisměrný babylonský systém.

Různé civilizace počítaly různě, ale i nyní můžete v jazyce, v názvech a vyobrazeních čísel najít pozůstatky úplně jiných číselných soustav, které kdysi tito lidé používali.

Takže Francouzi kdysi měli číselný systém se základnou 20, protože 80 ve francouzštině zní jako „čtyři krát dvacet“.

Římané nebo jejich předchůdci kdysi používali pětinásobný systém, protože V není nic jiného než obrázek dlaně s nataženým palcem a X jsou dvě stejné ruce.

Nepoziční číselné soustavy

Lidé se naučili počítat už dávno. Následně vyvstala potřeba evidovat čísla. Počet předmětů se znázorňoval nakreslením čárek nebo zářezů na nějakou tvrdou podložku. Aby si dva lidé mohli přesně uložit nějaké číselné informace, vzali dřevěný štítek, udělali na něm požadovaný počet zářezů a štítek pak rozpůlili. Každý si vzal svou druhou polovinu a nechal si ji. Tato technika nám umožnila vyhnout se kontroverzním situacím. Archeologové takové záznamy našli při vykopávkách. Pocházejí z 10-11 tisíciletí před naším letopočtem.
Vědci tento systém nazvali zápisem čísel jednotka (unární), protože libovolné číslo v něm je tvořeno opakováním jednoho znaku symbolizujícího jedničku.

Později se tyto odznaky začaly spojovat do skupin po 3, 5 a 10 hůlkách. Proto více pohodlné systémy Zúčtování.

Kolem třetího tisíciletí př. n. l. přišli Egypťané s vlastním číselným systémem, ve kterém se k označení klíčových čísel používaly speciální ikony – hieroglyfy. Každý takový hieroglyf se může opakovat maximálně 9krát. Tato číselná soustava se nazývá Starověký egyptský desítkový nepoziční číselný systém

Příkladem nepoziční číselné soustavy, která přetrvala dodnes, je číselná soustava používaná před více než dvěma a půl tisíci lety ve starém Římě. To se nazývářímský číselný systém.

Vychází ze znaků I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Římské číslice se používaly velmi dlouho, dnes se používají především k pojmenování významných dat, svazků, oddílů a kapitol v knihách.

K zápisu čísel používali Římané nejen sčítání, ale i odčítání.
Pravidla pro sestavování čísel v římské číselné soustavě:

1. Několik stejných čísel v řadě se sečte (skupina prvního typu).
2. Pokud je nalevo od větší číslice menší, odečte se hodnota menší číslice od hodnoty větší (skupina druhého typu).
3. Hodnoty skupin a čísel, které nejsou zahrnuty ve skupinách prvního a druhého typu, se sečtou.

Ve starověku se v Rusku hojně používaly číselné soustavy připomínající římské. Byli povoláni yasak. Výběrčí daní s jejich pomocí vyplňovali potvrzení o zaplacení daně (yasak) a zapisovali do daňového sešitu.

"Ruská kniha daní"

Nepoziční číselné systémy mají řadu významných nevýhod:

1. Neustále je potřeba zavádět nové symboly pro záznam velkých čísel.
2. Je nemožné reprezentovat zlomková a záporná čísla.
3. Je obtížné provádět aritmetické operace, protože neexistují žádné algoritmy pro jejich provádění. Zejména všechny národy spolu s číselnými soustavami měly metody počítání prstů a Řekové měli desku na počítání s počítadlem – něco jako naše počítadlo.

Ale stále používáme prvky nepoziční číselné soustavy v běžné řeči, konkrétně říkáme sto, ne deset desítek, tisíc, milion, miliarda, bilion.

Systém čísel jednotek

Potřeba psát čísla začala mezi lidmi vznikat v dávných dobách poté, co se naučili počítat. Svědčí o tom archeologické nálezy v místech táborů primitivních lidí, které pocházejí z období paleolitu (10$-11$ tisíc let před naším letopočtem). Zpočátku byl počet předmětů zobrazen pomocí určitých znaků: čárky, zářezy, kruhy označené na kamenech, dřevě nebo hlíně, stejně jako uzly na lanech.

Obrázek 1.

Vědci tento systém označování čísel nazývají jednotka (unární), jelikož číslo v něm je tvořeno opakováním jednoho znaku, který jeden symbolizuje.

Nevýhody systému:

při psaní velké číslo nutné používat velký počet tyčinky;

Při aplikaci tyčinek může být snadné dělat chyby.

Později, aby bylo počítání jednodušší, začali lidé tato znamení kombinovat.

Příklad 1

Příklady použití jednotkové číselné soustavy lze nalézt v našich životech. Malé děti se například snaží na prstech znázornit, jak jsou staré, nebo se k výuce počítání v první třídě používají počítací tyčinky.

Jednotkový systém ne úplně pohodlné, jelikož zápisy vypadají hodně zdlouhavě a jejich psaní je dost zdlouhavé, tak se postupem času začaly objevovat praktičtější číselné soustavy.

Zde jsou nějaké příklady.

Starověký egyptský desítkový nepoziční číselný systém

Tento systémČísla se objevila kolem roku 3000 před naším letopočtem. v důsledku toho, že obyvatelé starověkého Egypta přišli s vlastním číselným systémem, ve kterém při označování klíčových čísel $1$, $10$, $100$ atd. používaly se hieroglyfy, což se hodilo při psaní na hliněné tabulky, které nahrazovaly papír. Další čísla byla vyrobena z nich pomocí sčítání. Nejprve se zapsalo číslo nejvyššího řádu a poté nižšího. Egypťané se množili a rozdělovali a postupně zdvojnásobovali počet. Každá číslice se může opakovat až 9 $ krát. Příklady čísel tohoto systému jsou uvedeny níže.

Obrázek 2

Římský číselný systém

Tento systém se v zásadě příliš neliší od předchozího a přežil dodnes. Je založen na následujících příznacích:

$I$ (jeden prst) pro číslo $1$;

$V$ (otevřená dlaň) pro číslo $5$;

$X$ (dvě složené dlaně) za $10$;

k označení čísel $100$, $500$ a $1000$ byla použita první písmena odpovídajících latinských slov ( Сentum- sto, Demimille- půl tisíce, míle- tisíc).

Při skládání čísel Římané používali tato pravidla:

Číslo se rovná součtu hodnot několika identických „číslic“ umístěných v řadě, které tvoří skupinu prvního typu.

Číslo se rovná rozdílu hodnot dvou „číslic“, pokud je menší nalevo od větší. V tomto případě se hodnota menšího odečte od větší hodnoty. Společně tvoří skupinu druhého typu. V tomto případě může být levá „číslice“ menší než pravá o maximálně $1$ objednávku: pouze $X(10$) může být před $L(50)$ a $C(100$), mezi „nejnižšími“ může být pouze $X(10$) před $D(500$) a $M(1000$) – pouze $C(100$), před $V(5) – I( 1) $.

Číslo se rovná součtu skupinových hodnot a „číslic“, které nejsou zahrnuty ve skupinách $1$ nebo $2$.

Obrázek 3

Římské číslice se používají od starověku: označují data, čísla svazků, oddíly a kapitoly. Dříve jsem si myslel, že běžné arabské číslice lze snadno zfalšovat.

Abecední číselné soustavy

Tyto číselné systémy jsou pokročilejší. Patří mezi ně řečtina, slovanština, fénická, židovská a další. V těchto systémech byla čísla od $1$ do $9$, stejně jako počet desítek (od $10$ do $90$), stovek (od $100$ do $900$) označena písmeny abecedy.

Ve starověkém řeckém abecedním číselném systému byla čísla $1, 2, ..., 9$ reprezentována prvními devíti písmeny řecké abecedy atd. Následující písmena $9$ byla použita k označení čísel $10, 20, ..., 90$ a poslední písmena $9$ byla použita k označení čísel $100, 200, ..., 900 $.

U slovanských národů byly číselné hodnoty písmen stanoveny v souladu s pořadím slovanské abecedy, která zpočátku používala hlaholici a poté cyrilici.

Obrázek 4.

Poznámka 1

Abecední systém byl také používán ve starověké Rusi. Až do konce 17. století se jako čísla používaly cyrilice za 27 $.

Nepoziční číselné systémy mají řadu významných nevýhod:

Neustále je potřeba zavádět nové symboly pro záznam velkých čísel.

Je nemožné reprezentovat zlomková a záporná čísla.

Je obtížné provádět aritmetické operace, protože neexistují žádné algoritmy pro jejich provádění.

test

Poziční a nepoziční číselné soustavy

Různé číselné soustavy, které existovaly v minulosti a které se používají dnes, lze rozdělit na nepoziční a poziční. Znaky používané k zápisu čísel se nazývají číslice.

V nepozičních číselných soustavách poloha číslice v zápisu čísla nezávisí na hodnotě, kterou představuje. Příkladem nepoziční číselné soustavy je římská soustava, která jako čísla používá latinská písmena.

V pozičních číselných soustavách závisí hodnota označovaná číslicí v čísle na jeho pozici. Počet použitých číslic se nazývá základ číselné soustavy. Místo každé číslice v čísle se nazývá pozice. Prvním nám známým systémem založeným na pozičním principu je babylonský sexagezimál. Čísla v něm byla dvou typů, z nichž jeden označoval jednotky, druhý - desítky.

V současnosti jsou poziční číselné soustavy rozšířenější než nepoziční číselné soustavy. Umožňují totiž psát velká čísla pomocí relativně malého počtu znaků. Ještě důležitější výhodou polohových systémů je jejich jednoduchost a snadná implementace. aritmetické operace nad čísly zapsanými v těchto systémech.

Nejčastěji se používá indoarabská desítková soustava. Indové byli první, kdo použil nulu k označení polohového významu veličiny v řetězci čísel. Tato soustava se nazývá desítková, protože má deset číslic.

Rozdíl mezi pozičními a nepozičními číselnými soustavami nejsnáze pochopíme porovnáním dvou čísel. V pozičním číselném systému dochází ke srovnání dvou čísel následovně: v uvažovaných číslech se zleva doprava porovnávají číslice na stejných pozicích. Větší číslo odpovídá hodnotě většího čísla. Například pro čísla 123 a 234 je 1 menší než 2, takže 234 je větší než 123. V nepoziční číselné soustavě toto pravidlo neplatí. Příkladem toho může být srovnání dvou čísel IX a VI. I když je I menší než V, IX je větší než VI.

Základ číselné soustavy, ve kterém je číslo zapsáno, je obvykle označen dolním indexem. Například 555 7 je číslo zapsané v desítkové číselné soustavě. Pokud je číslo zapsáno v desítkové soustavě, pak se základ obvykle neuvádí. Základem systému je také číslo a uvádí se v obvyklé desítkové soustavě. Jakékoli celé číslo v pozičním systému lze zapsat v polynomickém tvaru:

Х s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 · S 1 +A 1 · S 0

kde S je základ číselné soustavy a n jsou číslice čísla zapsaného v této číselné soustavě, n je počet číslic čísla.

Takže například číslo 6293 10 bude zapsáno v polynomickém tvaru takto:

6293 10 = 6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Příklady pozičních číselných soustav:

· Binární (neboli základ 2) je kladný celočíselný poziční (místní) číselný systém, který umožňuje reprezentovat různé číselné hodnoty pomocí dvou symbolů. Nejčastěji jsou to 0 a 1.

· Osmičková je poziční celočíselný číselný systém založený na základu 8. K reprezentaci čísel používá číslice 0 až 7. Osmičková se často používá v oblastech zahrnujících digitální zařízení. Dříve byl široce používán v programování a počítačové dokumentaci, ale nyní byl téměř zcela nahrazen hexadecimálním.

· Desetinná číselná soustava je poziční číselná soustava založená na celočíselném základu 10. Nejběžnější číselná soustava na světě. Nejčastěji používané symboly pro psaní čísel jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nazývané arabské číslice.

· Duodenum (ve starověku široce používané, v některých konkrétních oblastech se používá dodnes) - poziční číselný systém s celočíselným základem 12. Používaná čísla jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Některé národy Nigérie a Tibetu stále používají duodecimální číselný systém, ale jeho ozvěny lze nalézt téměř v každé kultuře. V ruštině je slovo „tucet“, v angličtině „tucet“, někde je místo „deset“ použito slovo dvanáct, jako kulaté číslo například počkejte 12 minut.

· Hexadecimální (nejběžnější v programování, stejně jako ve fontech) je poziční číselný systém založený na celočíselném základu 16. Obvykle se jako hexadecimální číslice používají desetinné číslice od 0 do 9 a latinská písmena od A do F se používají k reprezentaci čísla od 10 do 15. Široce se používá v nízkoúrovňovém programování a v počítačové dokumentaci obecně, protože v moderních počítačích je minimální jednotkou paměti 8bitový bajt, jehož hodnoty jsou pohodlně zapsány ve dvou hexadecimálních číslicích.

· Hexadecimální (měření úhlů a zejména zeměpisné délky a šířky) je poziční číselný systém založený na celočíselném základu 60. Používaný ve starověku na Blízkém východě. Důsledkem této číselné soustavy je rozdělení úhlových a obloukových stupňů (a také hodin) na 60 minut a minut na 60 sekund.

Největší zájem při práci na počítači jsou číselné soustavy se základy 2, 8 a 16. Tyto číselné soustavy většinou stačí k plnému chodu člověka i počítače, ale občas se kvůli různým okolnostem stejně musíte obrátit na jiné číselné systémy, například na ternární, septální nebo základní 32 číselné systémy.

Chcete-li pracovat s čísly zapsanými v takových netradičních systémech, musíte mít na paměti, že se v zásadě neliší od obvyklé desítkové soustavy. Sčítání, odčítání a násobení v nich se provádějí podle stejného schématu.

Jiné číselné soustavy se nepoužívají především proto Každodenní život lidé jsou zvyklí používat desítkovou číselnou soustavu a žádná jiná není potřeba. V počítačích se používá binární číselný systém, protože je docela jednoduché pracovat s čísly zapsanými v binárním tvaru.

Hexadecimální systém se často používá v informatice, protože zápis čísel v něm je mnohem kratší než zápis čísel ve dvojkové soustavě. Může vyvstat otázka: proč nepoužít číselnou soustavu, například základ 50, k zápisu velmi velkých čísel? Taková číselná soustava vyžaduje 10 běžných číslic plus 40 znaků, které by odpovídaly číslům od 10 do 49, a je nepravděpodobné, že by s těmito čtyřiceti znaky chtěl někdo pracovat. Proto v reálný životČíselné soustavy založené na základech větších než 16 se prakticky nepoužívají.

Úvod do fraktálů

Logaritmická funkce v problémech

Příklad43. Řešení soustavy rovnic Řešení Převeďme druhou rovnici na soustavu s použitím definice logaritmu as ohledem na to, že výraz pod logaritmickým znaménkem musí být přísně kladný: Odpověď: . Příklad 44...

Poziční hry

Poziční hry

Navrhování hodin matematiky na téma "Číslování" s využitím moderních výukových nástrojů

Poziční číselný systém se poprvé objevil ve starověkém Babylonu. V Indii systém funguje ve formě pozičního desítkového číslování pomocí nuly, arabský národ si tento číselný systém vypůjčil od Indů a od nich zase...

Číselný systém je způsob záznamu (reprezentace) čísel. Různé číselné soustavy, které existovaly dříve a které se v současnosti používají, se dělí do dvou skupin: · poziční, · nepoziční...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Různé číselné soustavy, které existovaly v minulosti a které se používají dnes, lze rozdělit na nepoziční a poziční. Znaky používané k zápisu čísel se nazývají číslice...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Binární číselný systém vynalezli matematici a filozofové ještě před příchodem počítačů (XVII - XIX století). Nějaké nápady za sebou binární systém, byly v podstatě známé ve staré Číně...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Nejběžnější číselné soustavy jsou binární, hexadecimální a desítkové a osmičkové...

1.1 Historie vzniku různých číselných soustav Pračlověk téměř nemusel počítat. „Jeden“, „dva“ a „mnoho“ - to jsou všechna jeho čísla. Jenže my – moderní lidé – se musíme s čísly potýkat doslova na každém kroku...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

V nejstarším číslování se používal pouze znak „|“. za jedničku a každé přirozené číslo bylo zapsáno opakováním symbolu jednotky tolikrát, kolik jednotek v tomto čísle je...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

Kromě desítkové číselné soustavy jsou možné poziční číselné soustavy s jakýmkoli jiným přirozeným základem. V různých historických obdobích mnoho národů široce používalo různé číselné soustavy...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

1.5.1 Sčítání a odčítání V soustavě se základem i se k označení nuly a prvního c-1 přirozených čísel používají čísla 0, 1, 2, ..., c - 1. K provedení operace sčítání a odčítání se sestavuje tabulka pro sčítání jednociferných čísel.. .

Číselné soustavy a základy binárních kódování

Nám tak známá desítková soustava se pro počítače ukázala jako nepohodlná. Pokud v mechanických výpočetních zařízeních, která používají desítkovou soustavu, stačí jednoduše použít vícestavový prvek (kolo s devíti zuby) ...

Fraktály - nový obor matematiky

Koncept L-systémů, úzce souvisejících se sebepodobnými fraktály, se objevil až v roce 1968 díky Aristrid Lindenmayerové. Zpočátku byly L-systémy zavedeny při studiu formálních jazyků...

Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že chybí jediná napsaná jednoduchým jazykem, články o takovém základním materiálu. Proto jsem se rozhodl napsat svůj vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.

Úvod

Notový zápis je způsob záznamu (reprezentace) čísel.

Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.

Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.

Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.

Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.

Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je možných 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různých symbolů (od „00“ do „23“), v kategorii dne – 365 atd.

Nepolohové systémy

Jakmile se lidé naučili počítat, vyvstala potřeba čísla zapisovat. Na začátku bylo všechno jednoduché - zářez nebo čárka na nějaké ploše odpovídaly jednomu předmětu, například jednomu ovoci. Tak se objevila první číselná soustava – jednotka.

Systém čísel jednotek

Číslo v této číselné soustavě je řetězec pomlček (klacíků), jejichž počet se rovná hodnotě daného čísla. Sklizeň 100 datlí se tedy bude rovnat číslu sestávajícímu ze 100 pomlček.
Tento systém má ale zjevné nepříjemnosti – čím větší číslo, tím více delší čára z tyčinek. Při psaní čísla se navíc můžete snadno zmýlit tím, že omylem přidáte špejli navíc nebo naopak nezapíšete.

Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit pohodlnější systémy pro záznam čísel.

Starověký egyptský desítkový systém

Ve starověkém Egyptě se k reprezentaci čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používaly speciální symboly (čísla). Tady jsou některé z nich:

Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili seskupení 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V v tomto případě, číslo 10 se nazývá základní desítková soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.

Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:

Babylonský sexagesimální systém

Na rozdíl od egyptského používal babylonský systém pouze 2 symboly: „rovný“ klín k označení jednotek a „ležící“ klín k označení desítek. Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte rozdělit obrázek čísla na číslice zprava doleva. Nový výboj začíná vznikem rovného klínu po ležícím. Vezměme si jako příklad číslo 32:

Číslo 60 a všechny jeho mocniny jsou také označeny rovným klínem, jako „1“. Proto byl babylónský číselný systém nazýván sexagesimální.
Babyloňané psali všechna čísla od 1 do 59 v desítkové nepoziční soustavě a velké hodnoty v poziční soustavě se základem 60. Číslo 92:

Záznam čísla byl nejednoznačný, protože tam nebyla žádná číslice označující nulu. Zastoupení čísla 92 by mohlo znamenat nejen 92=60+32, ale také například 3632=3600+32. Chcete-li určit absolutní hodnotu čísla, zvláštní charakter k označení chybějící šestileté číslice, která odpovídá výskytu číslice 0 v zápisu desetinného čísla:

Nyní by číslo 3632 mělo být zapsáno jako:

Babylonský šestinásobný systém je prvním číselným systémem založeným částečně na pozičním principu. Tato číselná soustava se používá dodnes např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.

římský systém

Římský systém se příliš neliší od egyptského. Používá velká latinská písmena I, V, X, L, C, D a M k reprezentaci čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v římském číselném systému je soubor po sobě jdoucích číslic.

Metody pro určení hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Pokud je vlevo od větší číslice menší, pak se hodnota rovná rozdílu mezi větší a menší číslicí. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.

Kromě digitálních existují i ​​písmenné (abecední) číselné soustavy, zde jsou některé z nich:
1) slovanský
2) řečtina (jónština)

Poziční číselné soustavy

Jak již bylo zmíněno výše, první předpoklady pro vznik pozičního systému vznikly již ve starověkém Babylonu. V Indii měl systém podobu pozičního desítkového číslování pomocí nuly a od Indů si tuto číselnou soustavu vypůjčili Arabové, od kterých ji převzali Evropané. Z nějakého důvodu byl v Evropě tomuto systému přiřazen název „Arab“.

Desetinná číselná soustava

Jedná se o jednu z nejběžnějších číselných soustav. To je to, co používáme, když pojmenujeme cenu produktu a řekneme číslo autobusu. Každá číslice (pozice) může používat pouze jednu číslici z rozsahu od 0 do 9. Základem systému je číslo 10.

Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být vynásobený základem systému, v tomto případě číslem „10“, umocněným na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně při práci s několika číselnými soustavami současně, je základ označen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.

Kromě desítkové soustavy si zvláštní pozornost zaslouží 2-, 8- a 16. soustava.

Binární číselná soustava

Tento systém se používá především ve výpočetní technice. Proč nepoužili obvyklé 10.? První počítač vytvořil Blaise Pascal, který v něm používal desítkovou soustavu, což se v moderním elektronické stroje, neboť vyžadovala výrobu zařízení schopných provozu v 10 státech, což zvýšilo jejich cenu i konečné rozměry stroje. Prvky fungující ve 2. systému tyto nedostatky nemají. Zmíněný systém však vznikl dávno před vynálezem počítačů a má své „kořeny“ v civilizaci Inků, kde se používalo quipus – složité provazové vazby a uzly.

Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.

Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové číselné soustavě. Chcete-li převést z 2 na 10, musíte vynásobit každou číslici binárního čísla základem „2“ umocněným na mocninu rovnou hodnotě místa. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?

Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, která je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sada registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy provádí aritmetická logická jednotka (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Pokud není dostatek číslic ve skupině číslic zcela vlevo, jsou vyplněny zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je to 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, do počítače se přenese určitá sekvence elektrických impulsů a každý symbol má svou vlastní sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Přistupuje program ovladače klávesnice a obrazovky tabulka kódů znaků (například Unicode, který umožňuje zakódovat 65536 znaků), určuje, kterému znaku odpovídá přijatý kód a zobrazuje jej na obrazovce. Texty a čísla jsou tedy uloženy v paměti počítače v binárním kódu a programově jsou převedeny na obrázky na obrazovce.

Osmičková číselná soustava

8. číselná soustava, stejně jako binární, se často používá v digitální technice. Má základ 8 a používá číslice 0 až 7 k zápisu čísel.

Příklad osmičkového čísla: 254. Pro převod do 10. soustavy musí být každá číslice původního čísla vynásobena 8 n, kde n je ciferné číslo. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Hexadecimální číselná soustava

Hexadecimální systém je široce používán v moderních počítačích, používá se například k označení barvy: #FFFFFF - bílá. Daný systém má základ 16 a používá k zápisu tato čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmena jsou 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Pro převod do osmičkové soustavy nejprve převedeme hexadecimální číslo na binární a poté jej rozdělíme do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Převeďme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální

Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.

Homogenní poziční číselné soustavy

Definice uvedená na začátku článku popisuje homogenní systémy zcela plně, takže je zbytečné je objasňovat.

Smíšené číselné soustavy

K již dané definici můžeme přidat větu: „pokud P=Q n (P,Q,n jsou kladná celá čísla, zatímco P a Q jsou základy), pak záznam libovolného čísla ve smíšené (P-Q) číselné soustavě shodně se shoduje se zápisem stejného čísla v číselné soustavě se základem Q.“

Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro přenos z P do Q-tý systém a naopak:

1. Chcete-li převést z Q na P, potřebujete číslo v Q systém, rozdělte do skupin n číslic, počínaje pravou číslicí, a každou skupinu nahraďte jednou číslicí v P-té soustavě.
2. Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .

Pozoruhodným příkladem je převod z dvojkové soustavy na osmičkovou. Vezměme si binární číslo 10011110 2, převedeme ho na osmičkovou - rozdělíme ho zprava doleva do skupin po 3 číslicích: 010 011 110, nyní vynásobíme každou číslici 2 n, kde n je číslice, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Ukazuje se, že 10011110 2 = 236 8. Aby byl obraz binárně osmičkového čísla jednoznačný, dělí se na trojice: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci

Převod z jedné číselné soustavy do druhé

Někdy je potřeba převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, proto se podívejme na způsoby převodu mezi různými soustavami.

Převod na desítkovou číselnou soustavu

V číselné soustavě se základem b existuje číslo a 1 a 2 a 3. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici čísla vynásobit b n, kde n je číslo číslice. Tedy (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.

Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Převod z desítkové soustavy čísel na jiné

Celý díl:

1. Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
2. Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v nový systém zapište od posledního zbytku.

Zlomek:

1. Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
2. Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.

Příklad: převeďte 15 10 na osmičkové:
15\8 = 1, zbytek 7
1\8 = 0, zbytek 1

Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.

Převod z dvojkové soustavy na osmičkovou a šestnáctkovou

Chcete-li převést na osmičkové číslo, rozdělíme binární číslo do skupin po 3 číslicích zprava doleva a chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami. Dále transformujeme každou skupinu postupným vynásobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.

Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.

Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární

Převod z osmičkové na binární - každou číslici osmičkového čísla převedeme na binární 3místné číslo dělením 2 (více informací o dělení viz výše odstavec „Převod z desítkové soustavy čísel na ostatní“), vyplňte chybějící krajní číslice s úvodními nulami.

Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící vnější číslice doplníme úvodními nulami.

Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou

Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.

Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16

Překlad zlomkové části se provádí stejně jako u celých částí čísla s jedinou výjimkou, že rozdělení do skupin po 3 a 4 číslicích jde vpravo od desetinné čárky, chybějící číslice jsou doplněny o nuly vpravo.

Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou

Chcete-li převést zlomkovou část čísla na jiné číselné soustavy, musíte celou část otočit na nulu a výsledné číslo začít násobit základem soustavy, na kterou chcete převést. Pokud se v důsledku násobení objeví znovu celé části, je třeba je po prvním zapamatování (zapsání) hodnoty výsledné celé části znovu vynulovat. Operace končí, když je zlomková část zcela nulová.

Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků shora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2