Postoji mnogo načina za predstavljanje brojeva. U svakom slučaju, broj je predstavljen simbolom ili skupinom simbola (riječju) neke abecede. Takvi se simboli nazivaju brojevima.

Sustavi brojeva

Za predstavljanje brojeva koriste se nepozicijski i pozicijski brojevni sustavi.

Nepozicijski brojevni sustavi

Čim su ljudi počeli brojati, počeli su imati potrebu da zapisuju brojeve. Nalazi arheologa na nalazištima primitivnih ljudi pokazuju da je u početku broj predmeta bio prikazan jednakim brojem nekakvih ikona (oznaka): ureza, crtica, točkica. Kasnije su se te ikone, radi lakšeg brojanja, počele grupirati u skupine po tri ili pet. Ovakav sustav zapisivanja brojeva naziva se jedinica (unarni), budući da je bilo koji broj u njemu formiran ponavljanjem jednog znaka, simbolizirajući jedan. Odjeci brojevnog sustava jedinica nalaze se i danas. Dakle, da biste saznali koji tečaj pohađa kadet vojne škole, morate prebrojati koliko je pruga ušiveno na njegov rukav. Nesvjesna, djeca koriste brojevni sustav jedinica, pokazujući svoju dob na prstima, a štapići za brojanje koriste se za učenje učenika 1. razreda kako brojati. Razmotrimo raznih sustava Računanje.

Sustav jedinica nije najprikladniji način za pisanje brojeva. Napiši to ovako velike količine Zamorno je, a same bilješke ispadaju jako dugačke. S vremenom su se pojavili drugi, prikladniji sustavi brojeva.

Staroegipatski decimalni nepozicijski brojevni sustav. Oko trećeg tisućljeća prije Krista, stari Egipćani su smislili vlastiti numerički sustav, u kojem su ključni brojevi bili 1, 10, 100 itd. korištene su posebne ikone – hijeroglifi. Svi ostali brojevi sastavljeni su od ovih ključnih brojeva pomoću operacije zbrajanja. Brojevni sustav starog Egipta je decimalni, ali nepozicijski. U nepozicijskim brojevnim sustavima kvantitativni ekvivalent svake znamenke ne ovisi o njezinu položaju (mjestu, poziciji) u zapisu broja. Na primjer, za prikaz 3252 nacrtana su tri lotosova cvijeta (tri tisuće), dva smotana palmina lista (dvije stotine), pet lukova (pet desetica) i dva stupa (dvije jedinice). Veličina broja nije ovisila o redoslijedu u kojem su se nalazili njegovi sastavni znakovi: mogli su se pisati odozgo prema dolje, s desna na lijevo ili međusobno.

Rimski brojevni sustav. Primjer nepozicijskog sustava koji je preživio do danas je sustav brojeva koji se koristio prije više od dvije i pol tisuće godina u starom Rimu. Rimski brojevni sustav temeljio se na znakovima I (jedan prst) za broj 1, V (otvoren dlan) za broj 5, X (dva sklopljena dlana) za 10, a prva slova odgovarajućih latinskih riječi počela su se koristi se za označavanje brojeva 100, 500 i 1000 (Centum – sto, Demimille – pola tisuće, Mille – tisuću). Da bi zapisali broj, Rimljani su ga rastavljali na zbroj tisuća, pola tisuće, stotine, pedeset, desetice, petice, jedinice. Na primjer, decimalni broj 28 predstavljen je na sljedeći način:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (dvije desetice, pete, tri jedinice).

Da bi zabilježili međubrojeve, Rimljani su koristili ne samo zbrajanje, već i oduzimanje. U ovom slučaju primijenjeno je sljedeće pravilo: svaki manji znak postavljen desno od većeg dodaje se svojoj vrijednosti, a svaki manji znak postavljen lijevo od većeg se oduzima od toga. Na primjer, IX stoji za 9, XI za 11.

Decimalni broj 99 ima sljedeći prikaz:

XCIH = –10+100–1+10.

Rimski brojevi se koriste jako dugo. Još prije 200 godina u poslovnim papirima brojevi su morali biti označeni rimskim brojevima (vjerovalo se da je obične arapske brojeve lako krivotvoriti). Sustav rimskih brojeva danas se uglavnom koristi za imenovanje značajnih datuma, svezaka, odjeljaka i poglavlja u knjigama.

Abecedni brojevni sustavi. Abecedni sustavi bili su napredniji nepozicijski brojčani sustavi. Takvi sustavi brojeva uključivali su grčki, slavenski, fenički i druge. U njima su slovima abecede označavani brojevi od 1 do 9, cijeli brojevi desetica (od 10 do 90) i cijeli brojevi stotina (od 100 do 900). U abecednom brojevnom sustavu Drevna grčka brojevi 1, 2, ..., 9 označavani su s prvih devet slova grčkog alfabeta itd. Sljedećih 9 slova korišteno je za označavanje brojeva 10, 20, ..., 90, a posljednjih 9 slova korišteno je za označavanje brojeva 100, 200, ..., 900.

Kod slavenskih naroda brojčane vrijednosti slova utvrđene su u redoslijedu slavenske abecede, koja je koristila najprije glagoljicu, a zatim ćirilicu.

U Rusiji se slavenska numeracija očuvala do kraja 17. stoljeća. Pod Petrom I. prevladavalo je takozvano arapsko numeriranje, koje i danas koristimo. Slavenska numeracija sačuvala se samo u liturgijskim knjigama.

Nepozicijski sustavi brojeva imaju nekoliko značajnih nedostataka:

• Postoji stalna potreba za uvođenjem novih simbola za bilježenje velikih brojeva.

• Nemoguće je prikazati razlomke i negativne brojeve.

• Teško je izvoditi aritmetičke operacije jer ne postoje algoritmi za njihovo izvođenje.

Pozicijski brojevni sustavi

U položajnim brojevnim sustavima kvantitativni ekvivalent svake znamenke ovisi o njezinu položaju (položaju) u kodu (zapisu) broja. Danas smo navikli koristiti decimalni položajni sustav - brojevi se pišu s 10 znamenki. Krajnja desna znamenka označava jedinice, lijeva - desetice, još lijevo - stotine itd.

Na primjer: 1) seksagezimalni (stari Babilon) – prvi položajni brojevni sustav. Do sada se pri mjerenju vremena koristila baza od 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) duodecimalni brojevni sustav (broj 12 - "tucet" - bio je u širokoj upotrebi u 19. stoljeću: dan ima dva tuceta sati). Ne brojeći na prste, već na zglobove prstiju. Svaki prst, osim palca, ima 3 zgloba - ukupno 12; 3) trenutačno najčešći položajni brojčani sustavi su decimalni, binarni, oktalni i heksadecimalni (široko korišteni u programiranju niske razine i općenito u računalnoj dokumentaciji, jer moderna računala Minimalna jedinica memorije je 8-bitni bajt, čije su vrijednosti prikladno zapisane u dvije heksadecimalne znamenke).

U bilo kojem položajnom sustavu broj se može prikazati kao polinom.

Pokažimo kako predstaviti decimalni broj kao polinom:

Vrste brojevnih sustava

Najvažnija stvar koju trebate znati o brojevnom sustavu je njegova vrsta: aditivan ili multiplikativan. U prvoj vrsti svaka znamenka ima svoje značenje, a za čitanje broja potrebno je zbrojiti sve vrijednosti korištenih znamenki:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

U drugoj vrsti svaka znamenka može imati različita značenja ovisno o mjestu na kojem se nalazi u broju:

(hijeroglifi redom: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Ovdje se hijeroglif "2" koristi dva puta, au svakom slučaju je dobio različita značenja "2000" i "20".

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Za aditivni ("dodatni") sustav morate znati sve brojeve i simbole s njihovim značenjima (ima ih do 4-5 desetaka), te redoslijed snimanja. Na primjer, u latinskom zapisu, ako je manja znamenka napisana ispred veće, tada se vrši oduzimanje, a ako je iza, onda se zbraja (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Za multiplikativni sustav potrebno je poznavati sliku brojeva i njihovo značenje, kao i bazu brojevnog sustava. Određivanje baze je vrlo jednostavno, samo trebate preračunati broj značajnih znamenki u sustavu. Pojednostavljeno rečeno, to je broj od kojeg počinje druga znamenka broja. Na primjer, koristimo brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ima ih točno 10, pa je baza našeg brojevnog sustava također 10, a brojevni sustav je nazvan "decimalni". Gornji primjer koristi brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomoćni 10, 100, 1000, 10000 itd. se ne računaju). Ovdje također postoji 10 glavnih brojeva, a brojevni sustav je decimalni.

Kao što možete pretpostaviti, koliko ima brojeva, toliko može biti i baza brojevnog sustava. Ali koriste se samo najprikladnije baze brojevnih sustava. Zašto mislite da je baza najčešće korištenog ljudskog brojevnog sustava 10? Da, upravo zato što imamo 10 prstiju na rukama. “Ali samo je pet prstiju na jednoj ruci”, reći će neki i bit će u pravu. Povijest čovječanstva poznaje primjere peterostrukih brojčanih sustava. “A s nogama ima dvadeset prstiju”, reći će drugi i također će biti potpuno u pravu. To je točno ono što su Maje vjerovale. To se čak vidi i po njihovoj brojnosti.

Koncept "tuceta" vrlo je zanimljiv. Svi znaju da je ovo 12, ali malo ljudi zna otkud taj broj. Pogledajte svoje ruke, odnosno jednu ruku. Koliko falangi ima na svim prstima jedne ruke, ne računajući palac? Tako je, dvanaest. A palac je namijenjen označavanju prebrojanih falangi.

A ako pak prstima obilježimo broj punih tuceta, dobit ćemo poznati šezdeseti babilonski sustav.

Različite civilizacije su različito brojale, ali čak i sada možete pronaći u jeziku, u imenima i slikama brojeva, ostatke potpuno različitih brojčanih sustava koje su ti ljudi nekada koristili.

Dakle, Francuzi su nekada imali sustav brojeva s bazom 20, jer 80 na francuskom zvuči kao "četiri puta dvadeset".

Rimljani, ili njihovi prethodnici, nekoć su koristili peterostruki sustav, jer V nije ništa više od slike dlana s ispruženim palcem, a X su dvije iste ruke.

Nepozicijski brojevni sustavi

Ljudi su davno naučili brojati. Nakon toga pojavila se potreba za bilježenjem brojeva. Broj predmeta prikazivao se iscrtavanjem crtica ili zareza na nekoj tvrdoj podlozi.Da bi dvije osobe mogle točno pohraniti neki brojčani podatak, uzele su drvenu pločicu, napravile na njoj potreban broj zareza, a zatim pločicu prepolovile. Svatko je uzeo svoju drugu polovicu i zadržao je. Ova tehnika nam je omogućila da izbjegnemo kontroverzne situacije. Arheolozi su takve zapise pronašli tijekom iskapanja. Datiraju iz 10-11. tisućljeća pr.
Znanstvenici su ovaj sustav pisanja brojeva nazvali jedinica (unarni), budući da je bilo koji broj u njemu formiran ponavljanjem jednog znaka koji simbolizira jedan.

Kasnije su se te značke počele spajati u skupine od 3, 5 i 10 štapića. Stoga, više prikladni sustavi Računanje.

Otprilike u trećem tisućljeću prije Krista Egipćani su osmislili vlastiti numerički sustav u kojem su posebne ikone - hijeroglifi - korištene za označavanje ključnih brojeva. Svaki se takav hijeroglif može ponoviti najviše 9 puta.Taj se brojevni sustav naziva Staroegipatski decimalni nepozicijski brojevni sustav

Primjer nepozicijskog brojevnog sustava koji je preživio do danas je brojevni sustav korišten prije više od dvije i pol tisuće godina u starom Rimu. To se zoverimski brojevni sustav.

Temelji se na znakovima I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Rimski brojevi korišteni su jako dugo; danas se uglavnom koriste za imenovanje značajnih datuma, tomova, odjeljaka i poglavlja u knjigama.

Za zapisivanje brojeva Rimljani su koristili ne samo zbrajanje, već i oduzimanje.
Pravila za sastavljanje brojeva u sustavu rimskih brojeva:

1. Zbraja se nekoliko istih brojeva u nizu (grupa prve vrste).
2. Ako se lijevo od veće znamenke nalazi manja, tada se vrijednost manje znamenke oduzima od vrijednosti veće (skupina druge vrste).
3. Vrijednosti skupina i brojeva koji nisu uključeni u skupine prve i druge vrste zbrajaju se zajedno.

U davnim vremenima brojčani sustavi koji podsjećaju na rimske bili su naširoko korišteni u Rusiji. Bili su pozvani yasak. Uz njihovu pomoć poreznici su ispunjavali porezne priznanice (yasak) i unosili u poreznu bilježnicu.

"Ruska knjiga poreza"

Nepozicijski sustavi brojeva imaju nekoliko značajnih nedostataka:

1. Postoji stalna potreba za uvođenjem novih simbola za bilježenje velikih brojeva.
2. Nemoguće je prikazati razlomke i negativne brojeve.
3. Teško je izvoditi aritmetičke operacije jer ne postoje algoritmi za njihovo izvođenje. Konkretno, svi su narodi, uz brojevne sustave, imali metode brojanja prstima, a Grci su imali brojalicu abakus - nešto poput našeg abakusa.

Ali još uvijek u svakodnevnom govoru koristimo elemente nepozicijskog brojevnog sustava, posebice kažemo sto, a ne deset desetica, tisuća, milijun, milijarda, trilijun.

Brojevni sustav jedinica

Potreba za pisanjem brojeva počela se javljati među ljudima u davna vremena nakon što su naučili brojati. Dokaz za to su arheološki nalazi na mjestima logora primitivnih ljudi, koji datiraju iz razdoblja paleolitika ($10$-$11$ tisuća godina prije Krista). U početku se broj predmeta prikazivao određenim znakovima: crticama, zarezima, krugovima označenim na kamenju, drvu ili glini, kao i čvorovima na užadi.

Slika 1.

Znanstvenici ovaj sustav nazivaju bilježenjem brojeva jedinica (unarni), budući da je broj u njemu nastao ponavljanjem jednog znaka, koji simbolizira jedan.

Nedostaci sustava:

prilikom pisanja veliki broj neophodan za korištenje veliki brojštapići;

Lako je pogriješiti prilikom nanošenja štapića.

Kasnije su ljudi, radi lakšeg brojanja, počeli kombinirati te znakove.

Primjer 1

Primjeri korištenja jediničnog brojevnog sustava mogu se pronaći u našim životima. Na primjer, mala djeca na svojim prstima pokušavaju dočarati koliko imaju godina ili se štapići za brojanje koriste za učenje brojanja u prvom razredu.

Sustav jedinica nije sasvim zgodno, budući da unosi izgledaju jako dugački i njihovo je pisanje prilično zamorno, pa su se s vremenom počeli pojavljivati ​​praktičniji sustavi brojeva.

Evo nekoliko primjera.

Staroegipatski decimalni nepozicijski brojevni sustav

Ovaj sustav Brojevi su se pojavili oko 3000. pr. kao rezultat činjenice da su stanovnici starog Egipta smislili vlastiti numerički sustav, u kojem su pri označavanju ključnih brojeva $1$, $10$, $100$ itd. korišteni su hijeroglifi, što je bilo zgodno za pisanje na glinenim pločicama koje su zamijenile papir. Od njih su zbrajanjem načinjeni drugi brojevi. Najprije je zapisan broj najvišeg reda, a zatim nižeg. Egipćani su množili i dijelili, uzastopno udvostručavajući brojeve. Svaka znamenka se može ponoviti do $9$ puta. Primjeri brojeva ovog sustava navedeni su u nastavku.

Slika 2.

Rimski brojevni sustav

Ovaj sustav se u osnovi ne razlikuje mnogo od prethodnog i preživio je do danas. Temelji se na sljedećim znakovima:

$I$ (jedan prst) za broj $1$;

$V$ (otvoreni dlan) za broj $5$;

$X$ (dva sklopljena dlana) za 10$;

za označavanje brojeva $100$, $500$ i $1000$ korištena su prva slova odgovarajućih latinskih riječi ( Sentum- jedna stotina, Demimille- pola tisuće, milja- tisuću).

Pri sastavljanju brojeva Rimljani su se služili sljedećim pravilima:

Broj je jednak zbroju vrijednosti nekoliko identičnih "znamenki" smještenih u nizu, tvoreći skupinu prvog tipa.

Broj je jednak razlici vrijednosti dviju "znamenki" ako je manja lijevo od veće. U tom se slučaju vrijednost manje oduzima od veće vrijednosti. Zajedno čine skupinu drugog tipa. U ovom slučaju, lijeva "znamenka" može biti manja od desne za najviše $1$ reda: samo $X(10$) može biti ispred $L(50)$ i $C(100$), među “najnižim” samo $X(10$) može biti ispred $D(500$ ) i $M(1000$) – samo $C(100$), ispred $V(5) – I( 1)$.

Broj je jednak zbroju vrijednosti grupe i "znamenki" koje nisu uključene u grupe $1$ ili $2$.

Slika 3.

Rimski brojevi upotrebljavaju se od davnina: označavaju datume, brojeve svezaka, odjeljaka i poglavlja. Prije sam mislio da se obični arapski brojevi mogu lako lažirati.

Abecedni brojevni sustavi

Ovi brojčani sustavi su napredniji. Tu spadaju grčki, slavenski, fenički, židovski i drugi. U tim sustavima brojevi od $1$ do $9$, kao i brojevi desetica (od $10$ do $90$), stotina (od $100$ do $900$) označavani su slovima abecede.

U starogrčkom abecednom sustavu brojeva, brojevi $1, 2, ..., 9$ bili su predstavljeni s prvih devet slova grčkog alfabeta, itd. Sljedećih $9$ slova korišteno je za označavanje brojeva $10, 20, ..., 90$, a posljednjih $9$ slova korišteno je za označavanje brojeva $100, 200, ..., 900$.

Kod slavenskih naroda brojčane vrijednosti slova utvrđene su prema poretku slavenske abecede, koja je u početku koristila glagoljicu, a zatim ćirilicu.

Slika 4.

Napomena 1

Abecedni sustav također se koristio u staroj Rusiji. Sve do kraja 17. stoljeća $27$ ćirilična su slova korištena kao brojevi.

Nepozicijski sustavi brojeva imaju nekoliko značajnih nedostataka:

Postoji stalna potreba za uvođenjem novih simbola za bilježenje velikih brojeva.

Nemoguće je prikazati razlomke i negativne brojeve.

Teško je izvoditi aritmetičke operacije jer ne postoje algoritmi za njihovo izvođenje.

test

Pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi

Različiti sustavi brojeva koji su postojali u prošlosti i koji se koriste danas mogu se podijeliti na nepozicijske i pozicijske. Znakovi kojima se zapisuju brojevi nazivaju se znamenke.

U nepozicijskim brojevnim sustavima položaj znamenke u zapisu broja ne ovisi o vrijednosti koju predstavlja. Primjer nepozicijskog brojevnog sustava je rimski sustav, koji kao brojeve koristi latinična slova.

U pozicijskim brojevnim sustavima vrijednost označena znamenkom u broju ovisi o njezinom položaju. Broj upotrijebljenih znamenki naziva se baza brojevnog sustava. Mjesto svake znamenke u broju naziva se pozicija. Prvi nama poznati sustav koji se temelji na položajnom principu je babilonski seksagezimal. Brojevi u njemu bili su dvije vrste, od kojih je jedna označavala jedinice, a druga desetine.

Trenutno su položajni brojčani sustavi rašireniji od nepozicijskih brojevnih sustava. To je zato što omogućuju pisanje velikih brojeva korištenjem relativno malog broja znakova. Još važnija prednost položajnih sustava je njihova jednostavnost i lakoća implementacije. aritmetičke operacije preko brojeva zapisanih u tim sustavima.

Najčešće se koristi indo-arapski decimalni sustav. Indijanci su prvi upotrijebili nulu za označavanje položajnog značaja količine u nizu brojeva. Ovaj sustav nazivamo decimalnim jer ima deset znamenki.

Razliku između položajnih i nepozicijskih brojevnih sustava najlakše je razumjeti usporedbom dvaju brojeva. U pozicijskom brojevnom sustavu usporedba dvaju brojeva događa se na sljedeći način: u brojevima koji se razmatraju, slijeva nadesno, uspoređuju se znamenke na istim pozicijama. Veći broj odgovara većoj brojčanoj vrijednosti. Na primjer, za brojeve 123 i 234, 1 je manje od 2, pa je 234 veće od 123. U nepozicijskom brojevnom sustavu ovo pravilo ne vrijedi. Primjer za to bila bi usporedba dva broja IX i VI. Iako je I manji od V, IX je veći od VI.

Osnova brojevnog sustava u kojoj je broj zapisan obično se označava indeksom. Na primjer, 555 7 je broj zapisan u decimalnom brojevnom sustavu. Ako je broj napisan u decimalnom sustavu, tada baza obično nije naznačena. Osnova sustava također je broj, a prikazuje se u uobičajenom decimalnom sustavu. Bilo koji cijeli broj u položajnom sustavu može se napisati u polinomnom obliku:

H s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 ·S 1 +A 1 ·S 0

gdje je S baza brojevnog sustava, a n znamenke broja zapisane u ovom brojevnom sustavu, n broj znamenki broja.

Tako će, na primjer, broj 6293 10 biti napisan u obliku polinoma na sljedeći način:

6293 10 =6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Primjeri pozicijskih brojevnih sustava:

· Binarni (ili baza 2) je pozitivan cijeli broj pozicijskog (mjesnog) brojevnog sustava koji omogućuje da se različite numeričke vrijednosti predstavljaju pomoću dva simbola. Najčešće su to 0 i 1.

· Oktalni je sustav pozicijskih cijelih brojeva koji se temelji na bazi 8. Za predstavljanje brojeva koristi znamenke od 0 do 7. Oktalni se često koristi u područjima koja uključuju digitalne uređaje. Prethodno se naširoko koristio u programiranju i računalnoj dokumentaciji, ali je sada gotovo potpuno zamijenjen heksadecimalnim.

· Dekadni brojevni sustav je pozicijski brojevni sustav koji se temelji na bazi cijelog broja 10. Najčešći brojevni sustav na svijetu. Najčešće korišteni simboli za pisanje brojeva su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, koji se nazivaju arapskim brojevima.

· Duodecimalni (široko korišten u antičko doba, u nekim određenim područjima još uvijek se koristi) - položajni sustav brojeva s bazom cijelog broja 12. Brojevi koji se koriste su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Neki narodi Nigerije i Tibeta još uvijek koriste duodecimalni brojevni sustav, ali se njegovi odjeci mogu pronaći u gotovo svakoj kulturi. U ruskom postoji riječ "dozen", u engleskom "dozen", ponegdje se koristi riječ dvanaest umjesto "deset", kao okrugli broj, na primjer, pričekajte 12 minuta.

· Heksadecimalni (najčešći u programiranju, kao i u fontovima) je položajni brojevni sustav temeljen na bazi cijelog broja 16. Obično se decimalne znamenke od 0 do 9 koriste kao heksadecimalne znamenke, a latinična slova od A do F koriste se za predstavljanje brojevi od 10 do 15. Naširoko se koristi u programiranju niske razine i općenito u računalnoj dokumentaciji, budući da je u modernim računalima minimalna jedinica memorije 8-bitni bajt, čije su vrijednosti prikladno zapisane u dvije heksadecimalne znamenke.

· Heksadecimalni (mjerenje kutova i, posebno, zemljopisne dužine i širine) je položajni brojevni sustav koji se temelji na bazi cijelog broja 60. Koristio se u davna vremena na Bliskom istoku. Posljedice ovog brojevnog sustava su podjela kutnih i lučnih stupnjeva (kao i sati) na 60 minuta i minuta na 60 sekundi.

Najveći interes pri radu na računalu predstavljaju brojevni sustavi s bazama 2, 8 i 16. Ti su brojčani sustavi obično dovoljni za cjelovit rad i osobe i računala, ali ponekad, zbog različitih okolnosti, još uvijek moraju se okrenuti drugim brojevnim sustavima, na primjer trojnim, septalnim ili bazama 32 brojevnim sustavima.

Da biste radili s brojevima napisanim u takvim netradicionalnim sustavima, morate imati na umu da se oni u osnovi ne razlikuju od uobičajenog decimalnog sustava. Zbrajanje, oduzimanje i množenje u njima se provode prema istoj shemi.

Drugi brojevni sustavi ne koriste se uglavnom zato što Svakidašnjica ljudi su navikli koristiti decimalni brojevni sustav, i nijedan drugi nije potreban. U računalima se koristi binarni brojevni sustav, jer je vrlo jednostavno raditi s brojevima napisanim u binarnom obliku.

Heksadecimalni sustav često se koristi u informatici, budući da je pisanje brojeva u njemu mnogo kraće od pisanja brojeva u binarnom sustavu. Može se postaviti pitanje: zašto ne koristiti brojevni sustav, na primjer bazu 50, za pisanje vrlo velikih brojeva? Takav sustav brojeva zahtijeva 10 običnih znamenki plus 40 znakova, što bi odgovaralo brojevima od 10 do 49, a malo je vjerojatno da bi itko želio raditi s ovih četrdeset znakova. Stoga u stvaran život Sustavi brojeva temeljeni na bazama većim od 16 praktički se ne koriste.

Uvod u fraktale

Logaritamska funkcija u zadacima

Primjer43. Riješite sustav jednadžbi Rješenje Pretvorimo drugu jednadžbu u sustav primjenjujući definiciju logaritma i vodeći računa da izraz pod znakom logaritma mora biti strogo pozitivan: Odgovor: . Primjer 44...

Pozicijske igre

Pozicijske igre

Osmišljavanje nastave matematike na temu "Numeriranje" korištenjem suvremenih nastavnih sredstava

Pozicijski brojevni sustav prvi put se pojavio u starom Babilonu. U Indiji sustav funkcionira u obliku pozicijskog decimalnog numeriranja pomoću nule; arapska nacija je ovaj sustav brojeva posudila od Indijaca, a od njih pak...

Brojevni sustav je način bilježenja (prikazivanja) brojeva. Različiti sustavi brojeva koji su postojali prije i koji su danas u uporabi dijele se u dvije skupine: · položajne, · nepozicijske...

Notacija. Snimanje radnji na brojevima

Različiti sustavi brojeva koji su postojali u prošlosti i koji se koriste danas mogu se podijeliti na nepozicijske i pozicijske. Znakovi koji se koriste za pisanje brojeva nazivaju se znamenke...

Notacija. Snimanje radnji na brojevima

Binarni brojevni sustav izumili su matematičari i filozofi i prije pojave računala (XVII - XIX stoljeća). Neke ideje iza binarni sustav, bili su uglavnom poznati u drevnoj Kini...

Notacija. Snimanje radnji na brojevima

Najčešći brojevni sustavi su binarni, heksadecimalni te decimalni i oktalni...

1.1 Povijest nastanka raznih brojevnih sustava Primitivni čovjek gotovo da nije morao brojati. "Jedan", "dva" i "mnogo" - to su svi njegovi brojevi. Ali mi - moderni ljudi - moramo se suočavati s brojevima doslovno na svakom koraku...

Brojevni sustavi i osnove binarnog kodiranja

U najstarijem numeriranju korišten je samo znak "|". za jedan, a svaki prirodni broj zapisan je ponavljanjem simbola jedinice onoliko puta koliko jedinica ima u tom broju...

Brojevni sustavi i osnove binarnog kodiranja

Osim decimalnog brojevnog sustava mogući su i položajni brojevni sustavi s bilo kojom drugom prirodnom bazom. U različitim povijesnim razdobljima mnogi su narodi naširoko koristili različite sustave brojeva...

Brojevni sustavi i osnove binarnog kodiranja

1.5.1 Zbrajanje i oduzimanje U sustavu s bazom i brojevi 0, 1, 2, ..., c - 1 koriste se za označavanje nule i prvog c-1 prirodnih brojeva. Za izvođenje operacije zbrajanja i oduzimanja sastavlja se tablica za zbrajanje jednoznamenkastih brojeva.. .

Brojevni sustavi i osnove binarnog kodiranja

Decimalni sustav koji nam je tako poznat pokazao se nezgodnim za računala. Ako je u mehaničkim računalnim uređajima koji koriste decimalni sustav dovoljno jednostavno koristiti element s više stanja (kotačić s devet zuba) ...

Fraktali - nova grana matematike

Koncept L-sustava, usko povezan sa samosličnim fraktalima, pojavio se tek 1968. godine zahvaljujući Aristridu Lindenmayeru. U početku su L-sustavi uvedeni u proučavanje formalnih jezika...

Dok sam proučavao kodiranje, shvatio sam da ne razumijem dovoljno dobro brojevne sustave. Ipak, često sam koristio 2-, 8-, 10-, 16-te sustave, pretvarao jedan u drugi, ali sve se radilo "automatski". Nakon što sam pročitao mnogo publikacija, iznenadio sam se nedostatkom niti jedne napisane jednostavnim jezikom, članci o takvoj osnovnoj građi. Zato sam odlučio napisati svoj, u kojem sam pokušao na pristupačan i uredan način prikazati osnove brojevnih sustava.

Uvod

Notacija je način bilježenja (prikazivanja) brojeva.

Što to znači? Na primjer, vidite nekoliko stabala ispred sebe. Vaš zadatak je da ih prebrojite. Da biste to učinili, možete savinuti prste, napraviti zareze na kamenu (jedno stablo - jedan prst/zarez) ili spojiti 10 stabala s predmetom, na primjer kamenom, a jedan primjerak s štapom i postaviti ih na zemlji dok brojiš. U prvom slučaju, broj je predstavljen kao niz savijenih prstiju ili zareza, u drugom - sastav kamenja i štapića, gdje su kamenčići s lijeve strane, a štapići s desne strane

Brojevni sustavi dijele se na položajne i nepozicijske, a položajne pak na homogene i mješovite.

Nepozicijski- najstariji, u njemu svaka znamenka broja ima vrijednost koja ne ovisi o njezinom položaju (znamenka). Odnosno, ako imate 5 redaka, tada je i broj 5, jer svaki redak, bez obzira na mjesto u retku, odgovara samo 1 stavci.

Položajni sustav- značenje svake znamenke ovisi o njenom položaju (znamenki) u broju. Na primjer, 10. sustav brojeva koji nam je poznat je položajni. Razmotrimo broj 453. Broj 4 označava broj stotina i odgovara broju 400, 5 - broj desetica i sličan je vrijednosti 50, a 3 - jedinice i vrijednost 3. Kao što vidite, što je brojka veća, to je vrijednost veća. Konačni broj se može predstaviti kao zbroj 400+50+3=453.

Homogen sustav- za sve znamenke (pozicije) broja skup valjanih znakova (znamenki) je isti. Kao primjer uzmimo ranije spomenuti 10. sustav. Pri pisanju broja u homogenom 10. sustavu možete koristiti samo jednu znamenku od 0 do 9 u svakoj znamenki, dakle broj 450 je dopušten (1. znamenka - 0, 2. - 5, 3. - 4), ali 4F5 nije, jer znak F nije uključen u skup brojeva od 0 do 9.

Mješoviti sustav- u svakoj znamenki (poziciji) broja skup valjanih znakova (znamenki) može se razlikovati od skupova ostalih znamenki. Upečatljiv primjer je sustav mjerenja vremena. U kategoriji sekundi i minuta moguće je 60 različitih simbola (od “00” do “59”), u kategoriji sati – 24 različita simbola (od “00” do “23”), u kategoriji dana – 365, itd.

Nepozicijski sustavi

Čim su ljudi naučili brojati, javila se potreba za zapisivanjem brojeva. U početku je sve bilo jednostavno - zarez ili crtica na nekoj površini odgovarala je jednom objektu, na primjer, jednom voću. Tako se pojavio prvi brojevni sustav - jedinica.

Brojevni sustav jedinica

Broj u ovom brojevnom sustavu je niz crtica (štapića) čiji je broj jednak vrijednosti zadanog broja. Tako će žetva od 100 datulja biti jednaka broju koji se sastoji od 100 crtica.
Ali ovaj sustav ima očite neugodnosti - što je veći broj, to je više duža linija od štapića. Osim toga, lako možete pogriješiti pri pisanju broja ako slučajno dodate dodatni štapić ili, obrnuto, ne zapišete ga.

Radi praktičnosti, ljudi su počeli grupirati štapiće u 3, 5 i 10 dijelova. U isto vrijeme, svaka grupa je odgovarala određenom znaku ili predmetu. U početku su se prsti koristili za brojanje, pa su se prvi znakovi pojavili za skupine od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje praktičnijih sustava za snimanje brojeva.

Staroegipatski decimalni sustav

U starom Egiptu su se posebnim simbolima (brojevima) označavali brojevi 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Ovo su neki od njih:

Zašto se zove decimalni? Kao što je gore navedeno, ljudi su počeli grupirati simbole. U Egiptu su odabrali grupu od 10, ostavljajući broj "1" nepromijenjen. U u ovom slučaju, broj 10 naziva se osnovnim decimalnim sustavom, a svaki simbol predstavlja broj 10 do nekog stupnja.

Brojevi u staroegipatskom brojevnom sustavu pisani su kombinacijom ovih
znakova, od kojih se svaki nije ponavljao više od devet puta. Konačna vrijednost bila je jednaka zbroju elemenata broja. Važno je napomenuti da je ovaj način dobivanja vrijednosti karakterističan za svaki nepozicijski brojevni sustav. Primjer bi bio broj 345:

Babilonski seksagezimalni sustav

Za razliku od egipatskog sustava, babilonski sustav koristio je samo 2 simbola: "ravni" klin za označavanje jedinica i "ležeći" klin za označavanje desetica. Da biste odredili vrijednost broja, trebate sliku broja podijeliti na znamenke s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležećeg. Uzmimo broj 32 kao primjer:

Broj 60 i sve njegove snage također su označeni ravnim klinom, poput "1". Stoga je babilonski brojevni sustav nazvan šezdesetimalnim.
Babilonci su sve brojeve od 1 do 59 zapisivali u decimalnom nepozicijskom sustavu, a velike vrijednosti u pozicijskom sustavu s bazom 60. Broj 92:

Zapis broja bio je dvosmislen, jer nije bilo znamenke koja označava nulu. Predstavljanje broja 92 može značiti ne samo 92=60+32, već i, na primjer, 3632=3600+32. Da bismo odredili apsolutnu vrijednost broja, poseban karakter za označavanje seksagezimalne znamenke koja nedostaje, što odgovara pojavi znamenke 0 u decimalnom zapisu brojeva:

Sada broj 3632 treba napisati kao:

Babilonski seksagezimalni sustav je prvi brojevni sustav koji se dijelom temelji na položajnom principu. Taj brojevni sustav koristi se i danas, primjerice, pri određivanju vremena - sat se sastoji od 60 minuta, a minuta od 60 sekundi.

rimski sustav

Rimski sustav se ne razlikuje mnogo od egipatskog. Koristi velika latinična slova I, V, X, L, C, D i M za predstavljanje brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Broj u rimskom brojčanom sustavu je skup uzastopnih znamenki.

Metode za određivanje vrijednosti broja:

1. Vrijednost broja jednaka je zbroju vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u sustavu rimskih brojeva je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Ako se lijevo od veće znamenke nalazi manja, tada je vrijednost jednaka razlici između veće i manje znamenke. U isto vrijeme, lijeva znamenka može biti manja od desne za najviše jedan red veličine: na primjer, samo X(10) može se pojaviti ispred L(50) i C(100) među "najnižim" , i samo prije D(500) i M(1000) C(100), prije V(5) - samo I(1); broj 444 u brojevnom sustavu koji razmatramo bit će zapisan kao CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Vrijednost je jednaka zbroju vrijednosti grupa i brojeva koji ne ulaze u točke 1. i 2.

Osim digitalnih, postoje i slovni (abecedni) sustavi brojeva, evo nekih od njih:
1) slavenski
2) grčki (jonski)

Pozicijski brojevni sustavi

Kao što je gore spomenuto, prvi preduvjeti za pojavu položajnog sustava nastali su u starom Babilonu. U Indiji je sustav imao oblik pozicijskog decimalnog numeriranja pomoću nule, a od Indijaca su ovaj sustav brojeva posudili Arapi, od kojih su ga Europljani preuzeli. Iz nekog razloga, u Europi je ovom sustavu dodijeljen naziv "arapski".

Dekadski brojevni sustav

Ovo je jedan od najčešćih brojevnih sustava. To je ono što koristimo kada imenujemo cijenu proizvoda i kažemo broj autobusa. Svaka znamenka (pozicija) može koristiti samo jednu znamenku iz raspona od 0 do 9. Osnova sustava je broj 10.

Na primjer, uzmimo broj 503. Ako bi ovaj broj bio napisan u nepozicijskom sustavu, tada bi njegova vrijednost bila 5+0+3 = 8. Ali mi imamo pozicijski sustav i to znači da svaka znamenka broja mora biti pomnoženo bazom sustava, u ovom slučaju brojem " 10", podignuto na potenciju jednaku znamenkastom broju. Ispada da je vrijednost 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Kako bi se izbjegla zabuna pri radu s nekoliko brojevnih sustava istovremeno, baza je označena kao indeks. Dakle, 503 = 503 10.

Uz decimalni sustav posebnu pozornost zaslužuju 2-, 8- i 16-ti sustavi.

Binarni brojevni sustav

Ovaj se sustav uglavnom koristi u računalstvu. Zašto nisu upotrijebili uobičajeni 10? Prvo računalo stvorio je Blaise Pascal, koji je u njemu koristio decimalni sustav, što se pokazalo nezgodnim u modernom elektronički strojevi, jer je zahtijevao proizvodnju uređaja koji mogu raditi u 10 stanja, što je povećalo njihovu cijenu i konačne dimenzije stroja. Elementi koji rade u 2. sustavu nemaju te nedostatke. Međutim, sustav o kojem je riječ nastao je davno prije izuma računala i vuče svoje “korijene” iz civilizacije Inka, gdje su se koristili quipusi - složena tkanja užeta i čvorovi.

Binarni pozicijski brojevni sustav ima bazu 2 i koristi 2 simbola (znamenke) za pisanje brojeva: 0 i 1. U svakoj znamenki dopuštena je samo jedna znamenka - 0 ili 1.

Primjer je broj 101. Sličan je broju 5 u decimalnom brojevnom sustavu. Kako biste pretvorili iz 2 u 10, trebate pomnožiti svaku znamenku binarnog broja s bazom "2" podignutom na potenciju jednaku mjesnoj vrijednosti. Dakle, broj 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

Pa, za strojeve je prikladniji drugi brojevni sustav, ali na računalu često vidimo i koristimo brojeve u desetom sustavu. Kako onda stroj određuje koji broj korisnik upisuje? Kako prevodi broj iz jednog sustava u drugi, budući da ima samo 2 simbola - 0 i 1?

Da bi računalo moglo raditi s binarnim brojevima (kodovima), oni moraju biti negdje pohranjeni. Za pohranjivanje svake pojedine znamenke koristi se okidač koji je elektronički sklop. Može biti u 2 stanja, od kojih jedno odgovara nuli, a drugo jedinici. Za pamćenje jednog broja koristi se registar - skupina okidača, čiji broj odgovara broju znamenki u binarnom broju. A skup registara je radna memorija. Broj sadržan u registru je strojna riječ. Aritmetičke i logičke operacije s riječima izvodi aritmetičko-logička jedinica (ALU). Radi lakšeg pristupa upisnicima oni su numerirani. Broj se naziva adresa registra. Na primjer, ako trebate zbrojiti 2 broja, dovoljno je navesti brojeve ćelija (registra) u kojima se oni nalaze, a ne same brojeve. Adrese su napisane u oktalnim i heksadecimalnim sustavima (o njima će biti riječi u nastavku), jer je prijelaz s njih na binarni sustav i natrag prilično jednostavan. Za prelazak s 2. na 8. broj se mora podijeliti u skupine od 3 znamenke s desna na lijevo, a za prelazak na 16. - 4. Ako u krajnjoj lijevoj skupini znamenki nema dovoljno znamenki, tada se popunjavaju slijeva s nulama, koje se nazivaju vodećim. Uzmimo broj 101100 2 kao primjer. U oktalnom je 101 100 = 54 8, au heksadecimalnom je 0010 1100 = 2C 16. Super, ali zašto vidimo decimalne brojeve i slova na ekranu? Kada pritisnete tipku, određeni slijed električnih impulsa se prenosi u računalo, a svaki simbol ima svoj slijed električnih impulsa (nule i jedinice). Program upravljačkog programa tipkovnice i zaslona pristupa kodna tablica znakova (na primjer, Unicode, koji vam omogućuje kodiranje 65536 znakova), određuje kojem znaku odgovara primljeni kod i prikazuje ga na zaslonu. Dakle, tekstovi i brojevi se pohranjuju u memoriju računala u binarnom kodu, i programski pretvaraju se u slike na ekranu.

Oktalni brojevni sustav

Osmi brojčani sustav, kao i binarni, često se koristi u digitalnoj tehnologiji. Ima bazu 8 i koristi znamenke od 0 do 7 za pisanje brojeva.

Primjer oktalnog broja: 254. Za pretvorbu u 10. sustav svaka znamenka izvornog broja mora se pomnožiti s 8 n, gdje je n broj znamenke. Ispada da je 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Heksadekadski brojevni sustav

Heksadecimalni sustav naširoko se koristi u modernim računalima, na primjer, koristi se za označavanje boje: #FFFFFF - bijela. Sustav o kojemu je riječ ima bazu 16 i za pisanje koristi sljedeće brojeve: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, gdje je slova su redom 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Uzmimo broj 4F5 16 kao primjer. Da bismo prešli na oktalni sustav, heksadecimalni broj prvo pretvaramo u binarni, a zatim, podijelivši ga u skupine od 3 znamenke, u oktalni. Da biste pretvorili broj u 2, morate svaku znamenku predstaviti kao 4-bitni binarni broj. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ali u grupama 1 i 3 nema dovoljno znamenki, pa popunimo svaku vodećim nulama: 0100 1111 0101. Sada trebate podijeliti dobiveni broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 . Pretvorimo svaku binarnu grupu u oktalni sustav, množeći svaku znamenku s 2 n, gdje je n broj znamenke: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Uz razmatrane pozicijske sustave brojeva, postoje i drugi, na primjer:
1) Trojstvo
2) Kvartar
3) Duodecimala

Položajni sustavi dijele se na homogene i mješovite.

Homogeni položajni brojevni sustavi

Definicija dana na početku članka prilično cjelovito opisuje homogene sustave, pa je pojašnjenje nepotrebno.

Mješoviti brojevni sustavi

Već navedenoj definiciji možemo dodati teorem: “ako je P=Q n (P,Q,n su pozitivni cijeli brojevi, dok su P i Q baze), tada je zapis bilo kojeg broja u mješovitom (P-Q) brojevnom sustavu identičan. podudara se s pisanjem istog broja u brojevnom sustavu s bazom Q.”

Na temelju teorema možemo formulirati pravila za prijenos iz P u Q-ti sustav i obrnuto:

1. Da biste pretvorili Q u P, potreban vam je broj in Q sustav, podijelite u grupe od n znamenki, počevši od desne znamenke, i zamijenite svaku grupu s jednom znamenkom u P-tom sustavu.
2. Za pretvorbu iz P-te u Q-tu potrebno je svaku znamenku broja u P-tom sustavu pretvoriti u Q-tu i popuniti znamenke koje nedostaju vodećim nulama, s izuzetkom lijeve, tako da svaki broj u sustavu s bazom Q sastoji se od n znamenki.

Zapanjujući primjer je pretvorba iz binarnog u oktalni. Uzmimo binarni broj 10011110 2 da ga pretvorimo u oktalni - podijelit ćemo ga s desna na lijevo u grupe od 3 znamenke: 010 011 110, sada pomnožimo svaku znamenku s 2 n, gdje je n broj znamenke, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Ispada da je 10011110 2 = 236 8. Da bi slika binarno-oktalnog broja bila jednoznačna, on se dijeli na trojke: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Mješoviti brojčani sustavi su također, na primjer:
1) Faktorijel
2) Fibonacci

Pretvorba iz jednog brojevnog sustava u drugi

Ponekad morate pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, pa pogledajmo načine pretvorbe između različitih sustava.

Pretvorba u decimalni brojevni sustav

U brojevnom sustavu s bazom b postoji broj a 1 a 2 a 3. Za prelazak u 10. sustav potrebno je svaku znamenku broja pomnožiti s b n, gdje je n broj znamenke. Dakle, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

Primjer: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Pretvorba iz decimalnog brojevnog sustava u druge

Cijeli dio:

1. Cijeli dio decimalnog broja uzastopno dijelimo s bazom sustava u koji pretvaramo sve dok decimalni broj ne bude jednak nuli.
2. Ostaci dobiveni dijeljenjem su znamenke traženog broja. Broj u novi sustav zapišite počevši od zadnjeg ostatka.

Frakcija:

1. Razlomački dio decimalnog broja množimo s bazom sustava u koji želimo pretvoriti. Odvojite cijeli dio. Nastavljamo množiti razlomak s bazom novog sustava dok ne bude jednak 0.
2. Brojevi u novom sustavu sastoje se od cijelih dijelova rezultata množenja prema redoslijedu koji odgovara njihovoj proizvodnji.

Primjer: pretvorite 15 10 u oktalno:
15\8 = 1, ostatak 7
1\8 = 0, ostatak 1

Napisavši sve ostatke odozdo prema gore, dobivamo konačni broj 17. Dakle, 15 10 = 17 8.

Pretvaranje iz binarnog u oktalni i heksadecimalni

Za pretvorbu u oktalni, binarni broj dijelimo u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo, a vanjske znamenke koje nedostaju popunjavamo vodećim nulama. Zatim transformiramo svaku grupu uzastopnim množenjem znamenki s 2n, gdje je n broj znamenke.

Uzmimo broj 1001 2 kao primjer: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Za pretvorbu u heksadecimalni broj, dijelimo binarni broj u grupe od 4 znamenke s desna na lijevo, zatim slično pretvorbi iz 2. u 8. znamenku.

Pretvori iz oktalnog i heksadecimalnog u binarni

Pretvorba iz oktalnog u binarni - svaku znamenku oktalnog broja pretvaramo u binarni 3-znamenkasti broj dijeljenjem s 2 (za više informacija o dijeljenju pogledajte gornji odlomak "Pretvaranje iz decimalnog brojevnog sustava u druge"), ispunite nedostaju krajnje vanjske znamenke s vodećim nulama.

Na primjer, razmotrite broj 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Prijevod sa 16. na 2. - svaku znamenku heksadecimalnog broja pretvaramo u binarni 4-znamenkasti broj dijeljenjem s 2, popunjavajući vanjske znamenke koje nedostaju vodećim nulama.

Pretvaranje razlomljenog dijela bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni

Pretvorba se provodi na isti način kao i za cijele dijelove, osim što se znamenke broja množe s bazom na potenciju “-n”, gdje n počinje od 1.

Primjer: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Pretvaranje razlomaka binarnog u 8. i 16

Prevođenje frakcijskog dijela provodi se na isti način kao i za cijele dijelove broja, s jedinom iznimkom da podjela u skupine od 3 i 4 znamenke ide desno od decimalne točke, znamenke koje nedostaju nadopunjuju se s nule udesno.

Primjer: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Pretvaranje razlomaka decimalnog sustava u bilo koji drugi

Da biste razlomački dio broja pretvorili u druge brojevne sustave, morate pretvoriti cijeli dio u nulu i početi množiti dobiveni broj bazom sustava u koji želite pretvoriti. Ako se kao rezultat množenja ponovno pojave cijeli dijelovi, moraju se ponovno okrenuti na nulu, nakon što se prethodno zapamti (zapiše) vrijednost dobivenog cijelog dijela. Operacija završava kada je razlomački dio potpuno nula.

Na primjer, pretvorimo 10,625 10 u binarno:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapisujući sve ostatke odozgo prema dolje, dobivamo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2