MA. Ograničenje funkcije

texvc -susjedstvo skupovi u funkcionalnoj analizi i srodnim disciplinama su takav skup čija je svaka točka udaljena od dati skup ne više od Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon .

Definicije

• Neka Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): (X,\varrho) postoji metrički prostor, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README - pomoć pri postavljanju.): x_0 \in X, I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): \varepsilon > 0. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon-okruženje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc naziva skup

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Neka je dan podskup Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): A \subset X. Zatim Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon-okolica ovog skupa je skup

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Bilješke

• Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon-okolica točke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): x_0 tako se zove otvorena lopta sa središtem u Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): x_0 i radijus Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon.
• Iz definicije izravno proizlazi da

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varepsilon-susjedstvo je susjedstvo i, posebno, otvoreni skup.

Primjeri

Napišite recenziju o članku "Ipsilon susjedstvo"

Ulomak koji karakterizira susjedstvo Epsilon

- Pa, hoćemo li slušati? – nestrpljivo me gurala djevojčica.
Približili smo se... I osjetio sam čudesno mekan dodir pjenušavog vala... Bilo je to nešto nevjerojatno nježno, iznenađujuće nježno i umirujuće, au isto vrijeme prodirući u samu "dubinu" moje iznenađene i pomalo oprezne duša... Tiha "glazba" mi je tekla duž stopala, titrajući u milijunima različitih nijansi, i dižući se prema gore, počela me obavijati nečim bajkovito lijepim, nečim neopisivim... Osjećao sam da letim, iako tamo nije bio let nije se dogodilo u stvarnosti. Bilo je divno!.. Svaka stanica se rastapala i topila u nadolazećem novom valu, a iskričavo zlato me je opralo, odnosilo sve loše i tužno i ostavljalo samo čisto, iskonsko svjetlo u mojoj duši...
Nisam ni osjetila kako sam ušla i gotovo bezglavo uronila u ovo svjetlucavo čudo. Bilo je nevjerojatno dobro i nikad nisam htjela otići odatle...
– E, sad je dosta! Čeka nas zadatak! – provali Stellin uporni glas u blistavu ljepotu. - Je li ti se svidjelo?
- O da! – izdahnula sam. – Nisam toliko htjela izlaziti!..
- Upravo tako! Tako se neki “kupaju” do sljedeće inkarnacije... I onda se više nikada ne vrate ovdje...

Razmatra se opća definicija okoline točke na brojevnom pravcu. Definicije epsilon okoline, lijeve, desne i punktirane okoline konačnih i beskonačnih točaka. Vlasništvo u susjedstvu. Dokazuje se teorem o ekvivalenciji uporabe epsilon susjedstva i proizvoljnog susjedstva u određivanju limita funkcije prema Cauchyju.

Sadržaj

Određivanje okoline točke

Okolica realne točke x 0 Svaki otvoreni interval koji sadrži ovu točku naziva se:
.
Ovdje ε 1 i ε 2 - proizvoljni pozitivni brojevi.

Epsilon - okolina točke x 0 je skup točaka udaljenost od koje je točka x 0 manje od ε:
.

Probušena okolina točke x 0 je okolina ove točke iz koje je sama točka x isključena 0 :
.

Susjedstva krajnjih točaka

Na samom početku dana je definicija okoline točke. Označava se kao . Ali možete eksplicitno naznačiti da susjedstvo ovisi o dva broja koristeći odgovarajuće argumente:
(1) .
To jest, susjedstvo je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu.

Izjednačavanje ε 1 do ε 2 , dobivamo epsilon - susjedstvo:
(2) .
Epsilon susjedstvo je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu s jednako udaljenim krajevima.
Naravno, slovo epsilon se može zamijeniti bilo kojim drugim i uzeti u obzir δ - susjedstvo, σ - susjedstvo itd.

U teoriji ograničenja, može se koristiti definicija susjedstva koja se temelji i na skupu (1) i na skupu (2). Korištenje bilo kojeg od ovih susjedstava daje ekvivalentne rezultate (vidi). No definicija (2) je jednostavnija, pa se često koristi epsilon - okolica točke određena iz (2).

Koncepti lijevog, desnog i probušenog susjedstva krajnjih točaka također se široko koriste. Evo njihovih definicija.

Lijeva okolina realne točke x 0 je poluotvoreni interval smješten na realnoj osi lijevo od točke x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Desna okolina realne točke x 0 je poluotvoreni interval koji se nalazi desno od točke x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Probušena susjedstva krajnjih točaka

Punktirane okoline točke x 0 - to su iste četvrti iz kojih je sama točka isključena. Označeni su krugom iznad slova. Evo njihovih definicija.

Punktirana okolina točke x 0 :
.

Probušeni epsilon - okolina točke x 0 :
;
.

Probušena lijeva strana u blizini:
;
.

Probušena desna strana u blizini:
;
.

Okolice točaka u beskonačnosti

Uz krajnje točke uvodi se i koncept okoline beskonačno udaljenih točaka. Svi su probušeni jer u beskonačnosti ne postoji pravi broj (točka u beskonačnosti definirana je kao granica beskonačno velikog niza).

.
;
;
.

Bilo je moguće odrediti susjedstvo točaka u beskonačnosti ovako:
.
Ali umjesto M, koristimo , tako da je susjedstvo s manjim ε podskup susjedstva s većim ε, kao za krajnje točke susjedstva.

Vlasništvo u susjedstvu

Zatim koristimo očito svojstvo susjedstva točke (konačno ili u beskonačnosti). Ono leži u činjenici da su susjedstva točaka s manjim vrijednostima ε podskupovi susjedstava s većim vrijednostima ε. Evo strožih formulacija.

Neka postoji konačna ili beskonačno udaljena točka. Pusti to .
Zatim
;
;
;
;
;
;
;
.

Vrijedi i obrnuto.

Ekvivalencija definicija limita funkcije po Cauchyju

Sada ćemo pokazati da u određivanju limita funkcije prema Cauchyju, možete koristiti i proizvoljnu okolinu i okolinu s ekvidistantnim krajevima.

Teorema
Cauchyjeve definicije limita funkcije koje koriste proizvoljne susjedstva i susjedstva s jednako udaljenim krajevima su ekvivalentne.

Dokaz

Idemo formulirati prva definicija limita funkcije.
Broj a je limes funkcije u točki (konačnoj ili u beskonačnosti), ako za bilo koje pozitivne brojeve postoje brojevi ovisni o i koji za sve pripadaju odgovarajućoj okolini točke a:
.

Idemo formulirati druga definicija limita funkcije.
Broj a je granica funkcije u točki ako za bilo koji pozitivan broj postoji broj ovisan o tome za sve:
.

Dokaz 1 ⇒ 2

Dokažimo da ako je broj a limit funkcije po 1. definiciji, onda je on također limit po 2. definiciji.

Neka je prva definicija zadovoljena. To znači da postoje funkcije i , pa za sve pozitivne brojeve vrijedi sljedeće:
gdje .

Budući da su brojevi proizvoljni, izjednačavamo ih:
.
Zatim postoje takve funkcije i , pa za svaku vrijedi sljedeće:
gdje .

Primijeti da .
Dopustiti biti najmanji od pozitivnih brojeva i . Zatim, prema onome što je gore navedeno,
.
Ako tada.

To jest, pronašli smo takvu funkciju, pa za bilo koju vrijedi sljedeće:
gdje .
To znači da je broj a limit funkcije po drugoj definiciji.

Dokaz 2 ⇒ 1

Dokažimo da ako je broj a limit funkcije po 2. definiciji, onda je on također limit po 1. definiciji.

Neka je druga definicija zadovoljena. Uzmimo dva pozitivna broja i . I neka ih bude najmanje. Tada, prema drugoj definiciji, postoji takva funkcija , tako da za bilo koji pozitivan broj i za sve , slijedi da je
.

Ali prema , . Prema tome, iz onoga što slijedi da
.

Zatim za sve pozitivne brojeve i , pronašli smo dva broja, tako da za sve :
.

To znači da je broj a limit po prvoj definiciji.

Teorem je dokazan.

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.

Teorijski minimum

Koncept limita u odnosu na nizove brojeva već je uveden u temi "".
Preporuča se da prvo pročitate materijal sadržan u njemu.

Prelazeći na temu ove teme, prisjetimo se pojma funkcije. Funkcija je još jedan primjer preslikavanja. Razmotrit ćemo najjednostavniji slučaj
realna funkcija jednog realnog argumenta (o onome što je teško u drugim slučajevima bit će riječi kasnije). Funkcija u okviru ove teme podrazumijeva se kao
zakon prema kojem se svakom elementu skupa na kojem je definirana funkcija pridružuje jedan ili više elemenata
skup, koji se naziva skup vrijednosti funkcije. Ako je svakom elementu domene definicije funkcije dodijeljen jedan element
skup vrijednosti, tada se funkcija naziva jednovrijednom, inače se funkcija naziva viševrijednom. Radi jednostavnosti, govorit ćemo samo o
jednoznačne funkcije.

Odmah bih želio naglasiti temeljnu razliku između funkcije i niza: skupovi povezani preslikavanjem u ova dva slučaja bitno su različiti.
Kako bismo izbjegli potrebu korištenja terminologije opće topologije, razjasnit ćemo razliku pomoću nepreciznog zaključivanja. Kad se raspravlja o granici
nizova, govorili smo samo o jednoj mogućnosti: neograničenom rastu broja elemenata niza. Ovim povećanjem broja sami elementi
sekvence su se ponašale puno raznolikije. Mogli su se "akumulirati" u malom susjedstvu određenog broja; mogli bi neograničeno rasti itd.
Grubo govoreći, navođenje niza je navođenje funkcije na diskretnoj "domeni definicije". Ako govorimo o funkciji, čija je definicija dana
na početku teme treba pažljivije konstruirati pojam granice. Ima smisla govoriti o limitu funkcije kad njezin argument teži tome određena vrijednost .
Ova formulacija pitanja nije imala smisla u odnosu na sekvence. Potrebno je napraviti neka pojašnjenja. Svi su oni povezani s
kako točno argument teži dotičnom značenju.

Pogledajmo nekoliko primjera - za sada ukratko:


Ove funkcije će nam omogućiti da razmotrimo najviše različiti slučajevi. Ovdje prikazujemo grafove ovih funkcija radi veće jasnoće prikaza.

Funkcija u bilo kojoj točki svoje domene definicije ima ograničenje - to je intuitivno jasno. Koju god točku domene definicije uzmemo,
odmah možete reći kojoj vrijednosti funkcija teži kada argument teži odabranoj vrijednosti, a granica će biti konačna ako samo argument
ne teži beskonačnosti. Graf funkcije ima pregib. To utječe na svojstva funkcije na prijelomnoj točki, ali s gledišta granice
ova točka nije istaknuta. Funkcija je već zanimljivija: u ovom trenutku nije jasno koju vrijednost granice dodijeliti funkciji.
Ako točki prilazimo s desne strane, tada funkcija teži jednoj vrijednosti, ako s lijeve strane, funkcija teži drugoj vrijednosti. U prethodnim
nije bilo primjera za to. Kada funkcija teži nuli, bilo slijeva ili zdesna, ponaša se na isti način, težeći beskonačnosti -
za razliku od funkcije, koja teži beskonačnosti kao što argument teži nuli, ali predznak beskonačnosti ovisi o tome s čime
strane približavamo se nuli. Konačno, funkcija se na nuli ponaša potpuno neshvatljivo.

Formalizirajmo koncept limita koristeći "epsilon-delta" jezik. Glavna razlika u odnosu na definiciju ograničenja niza bit će potreba
opisati tendenciju argumenta funkcije prema određenoj vrijednosti. Ovo zahtijeva koncept granične točke skupa, koja je u ovom kontekstu pomoćna.
Točka se naziva graničnom točkom skupa ako je u bilo kojoj okolini sadrži bezbroj točaka
koji pripada i razlikuje se od . Malo kasnije postat će jasno zašto je takva definicija potrebna.

Dakle, broj se naziva limitom funkcije u točki koja je granična točka skupa na kojem je definirana
funkcija ako

Pogledajmo ovu definiciju jednu po jednu. Istaknimo ovdje dijelove povezane sa željom argumenta za značenjem i željom funkcije
cijeniti . Trebali biste razumjeti opće značenje pisane izjave, koja se može približno protumačiti na sljedeći način.
Funkcija teži na , ako uzimamo broj iz dovoljno male okoline točke , mi ćemo
dobiti vrijednost funkcije iz dovoljno male okoline broja. I što je manja okolina točke iz koje se uzimaju vrijednosti
argumenta, manja će biti okolina točke u koju će pasti odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Vratimo se ponovno na formalnu definiciju granice i čitajmo je u svjetlu onoga što je upravo rečeno. Pozitivan broj ograničava susjedstvo
točka iz koje ćemo uzeti vrijednosti argumenta. Štoviše, vrijednosti argumenta su, naravno, iz domene definicije funkcije i ne podudaraju se sa samom funkcijom
točka: pišemo težnju, a ne slučajnost! Dakle, ako uzmemo vrijednost argumenta iz specificirane okoline točke,
tada će vrijednost funkcije pasti u -okolicu točke .
Na kraju, spojimo definiciju. Bez obzira koliko malo odabrali -blizinu točke, uvijek će postojati takva -blizina točke,
da ćemo se pri izboru vrijednosti argumenta iz njega naći u blizini točke . Naravno, veličina je susjedstvo točke u ovom slučaju
ovisi o tome koja je okolina točke navedena. Ako je susjedstvo vrijednosti funkcije dovoljno veliko, onda je odgovarajuće širenje vrijednosti
argument će biti velik. Kako se susjedstvo vrijednosti funkcije smanjuje, odgovarajuće širenje vrijednosti argumenta također će se smanjiti (vidi sliku 2).

Ostalo je razjasniti neke detalje. Prvo, zahtjev da točka bude granica eliminira potrebu za brigom o tome hoće li točka
iz -susjedstva općenito spada u domenu definiranja funkcije. Drugo, sudjelovanje u određivanju graničnog uvjeta sredstva
da argument može težiti vrijednosti i s lijeve i s desne strane.

Za slučaj kada argument funkcije teži beskonačnosti, potrebno je posebno definirati pojam granične točke. nazvan limit
točka skupa ako za bilo koji pozitivan broj interval sadrži beskonačan skup
poena iz seta.

Vratimo se primjerima. Funkcija nam nije posebno zanimljiva. Pogledajmo pobliže druge funkcije.

Primjeri.

Primjer 1. Graf funkcije ima pregib.
Funkcija unatoč singularnosti u točki, ima granicu u ovoj točki. Posebnost na nuli je gubitak glatkoće.

Primjer 2. Jednostrana ograničenja.
Funkcija u točki nema ograničenja. Kao što je već napomenuto, za postojanje granice potrebno je da, kada se brine
s lijeve i desne strane funkcija je težila istoj vrijednosti. Ovdje ovo očito ne vrijedi. Međutim, može se uvesti koncept jednostrane granice.
Ako argument teži zadanoj vrijednosti sa strane većih vrijednosti, tada govorimo o desnoj granici; ako je na strani manjih vrijednosti -
o lijevoj granici.
U slučaju funkcije
- desna granica No, možemo dati primjer kada beskonačne oscilacije sinusa ne smetaju postojanju granice (i to dvostrane).
Primjer bi bila funkcija . Grafikon je dan u nastavku; iz očiglednih razloga, izgraditi ga do kraja u blizini
porijeklo je nemoguće. Granica na je nula.

Bilješke.
1. Postoji pristup određivanju limita funkcije koji koristi limit niza – tzv. Heineova definicija. Tamo se konstruira niz točaka koji konvergira traženoj vrijednosti
argument - tada odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira do granice funkcije na ovoj vrijednosti argumenta. Ekvivalencija Heineove definicije i definicije u jeziku
"epsilon-delta" je dokazana.
2. Slučaj funkcija dvaju ili više argumenata kompliciran je činjenicom da je za postojanje limita u točki potrebno da vrijednost limita bude ista za bilo koji način na koji argument teži
na traženu vrijednost. Ako postoji samo jedan argument, tada možete tražiti traženu vrijednost s lijeve ili s desne strane. Kada više varijabli, broj opcija naglo raste. Slučaj funkcija
kompleksna varijabla zahtijeva posebnu raspravu.

Koje simbole osim znakova nejednakosti i modula poznajete?

Iz tečaja algebre znamo sljedeću notaciju:

– univerzalni kvantifikator znači „za bilo koji“, „za sve“, „za svakoga“, odnosno unos treba čitati „za bilo koji pozitivni epsilon“;

– egzistencijalni kvantifikator, – postoji vrijednost koja pripada skupu prirodnih brojeva.

– dugačka okomita palica ovako glasi: “takav”, “takav”, “takav” ili “takav”, u našem slučaju, očito, riječ je o broju - dakle “takav”;

– za sve “en” veće od ;

– znak modula označava udaljenost, tj. ovaj unos nam govori da je udaljenost između vrijednosti manja od epsilon.

Određivanje granice sekvence

I zapravo, razmislimo malo – kako formulirati strogu definiciju niza? ...Prvo što pada na pamet u svjetlu praktične lekcije: “granica niza je broj kojem se članovi niza beskonačno približavaju.”

Dobro, zapišimo slijed:

Nije teško shvatiti da se podniz približava broju –1 beskonačno blizu, a članovi s parnim brojevima približavaju se “jedinici”.

Ili možda postoje dvije granice? Ali zašto ih onda nijedan niz ne može imati deset ili dvadeset? Ovako možete daleko dogurati. S tim u vezi, logično je pretpostaviti da ako niz ima limit, onda je on jedini.

Napomena: niz nema ograničenja, ali se iz njega mogu razlikovati dva podniza (vidi gore), od kojih svaki ima svoj limit.

Stoga se gornja definicija pokazuje neodrživom. Da, radi za slučajeve poput (koje nisam sasvim ispravno upotrijebio u pojednostavljenim objašnjenjima praktičnih primjera), ali sada moramo pronaći strogu definiciju.

Drugi pokušaj: "granica niza je broj kojem se približavaju SVI članovi niza, uz moguću iznimku njihovog konačnog broja." Ovo je bliže istini, ali ipak nije sasvim točno. Tako se, na primjer, polovica članova niza uopće ne približava nuli - jednostavno su joj jednaki =) Usput, "trepereće svjetlo" općenito ima dvije fiksne vrijednosti.

Formulaciju nije teško razjasniti, ali onda se postavlja još jedno pitanje: kako napisati definiciju matematičkim simbolima? Znanstveni svijet dugo se borio s tim problemom sve dok situaciju nije razriješio slavni maestro, koji je, u biti, formalizirao klasičnu matematičku analizu u svoj njezinoj strogosti. Cauchy je predložio djelovanje u okolnom području, što je značajno unaprijedilo teoriju.

Razmotrimo određenu točku i njenu proizvoljnu okolinu:

Vrijednost "epsilon" je uvijek pozitivna, i, štoviše, imamo pravo sami odabrati. Pretpostavimo da u određenom susjedstvu postoji mnogo članova (ne nužno svi) nekog niza. Kako zapisati činjenicu da je, primjerice, deseti termin u susjedstvu? Neka bude s njegove desne strane. Tada bi udaljenost između točaka i trebala biti manja od “epsilon”: . Međutim, ako se "x desetina" nalazi lijevo od točke "a", tada će razlika biti negativna, pa joj se mora dodati znak modula: .

Definicija: broj se naziva limitom niza ako za bilo koju njegovu okolinu (unaprijed odabranu) postoji prirodan broj TAKAV da će SVI članovi niza s većim brojevima biti unutar okoline:

Ili ukratko: ako

Drugim riječima, koliko god malu "epsilon" vrijednost koju uzmemo, prije ili kasnije "beskonačni rep" niza će POTPUNO biti u ovom susjedstvu.

Tako će, na primjer, "beskonačni rep" niza POTPUNO ići u bilo koju proizvoljno malu okolinu točke. Dakle, ova vrijednost je granica niza po definiciji. Dopustite mi da vas podsjetim da se niz čija je granica nula naziva infinitezimalnog.

Treba napomenuti da za niz više nije moguće reći "beskonačan rep će doći" - pojmovi s neparnim brojevima su zapravo jednaki nuli i "neće ići nigdje" =) Zato je glagol "pojavit će se ” koristi se u definiciji. I, naravno, članovi ovakvog niza također "nigdje ne idu". Usput, provjerite je li broj njegova granica.

Sada ćemo pokazati da niz nema ograničenja. Razmotrimo, na primjer, susjedstvo točke . Potpuno je jasno da ne postoji taj broj nakon kojeg će SVI pojmovi završiti u datom susjedstvu - neparni pojmovi će uvijek “iskočiti” na “minus jedan”. Iz sličnog razloga, u točki nema ograničenja.

Dokažite da je limit niza nula. Specificirajte broj nakon kojeg će svi članovi niza zajamčeno biti unutar proizvoljno male okoline točke.

Napomena: za mnoge nizove traženi prirodni broj ovisi o vrijednosti - otuda i zapis .

Rješenje: razmotrimo proizvoljnu -okolicu točke i provjerimo da li postoji broj takav da će SVI članovi s većim brojevima biti unutar te okoline:

Da bismo pokazali postojanje traženog broja, izražavamo ga kroz .

Budući da se za bilo koju vrijednost "en", znak modula može ukloniti:

Koristimo “školske” radnje s nejednadžbama, što sam ponovila u lekcijama Linearne nejednadžbe i Područje funkcije. U ovom slučaju, važna okolnost je da su "epsilon" i "en" pozitivni:

Budući da je s lijeve strane riječ o prirodnim brojevima, a desna strana je in opći slučaj je razlomak, tada ga treba zaokružiti:

Napomena: ponekad se jedinica doda s desne strane radi sigurnosti, ali u stvarnosti je to pretjerano. Relativno govoreći, ako oslabimo rezultat zaokruživanjem prema dolje, tada će najbliži odgovarajući broj ("tri") i dalje zadovoljavati izvornu nejednakost.

Sada gledamo nejednakost i prisjećamo se da smo u početku razmatrali proizvoljno susjedstvo, tj. "epsilon" može biti jednak bilo kojem pozitivnom broju.

Zaključak : za bilo koju proizvoljno malu okolinu točke, pronađena je vrijednost takva da za sve veće brojeve vrijedi nejednakost . Dakle, broj je granica niza po definiciji. Q.E.D.

Usput, iz dobivenog rezultata jasno je vidljiv prirodni obrazac: što je susjedstvo manje, to je broj veći, nakon čega će SVI članovi niza biti u ovom susjedstvu. Ali bez obzira na to koliko je mali "epsilon", uvijek će postojati "beskonačni rep" unutra, a izvan njega - čak i velik, ali konačan broj članova.