Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.
Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.
При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).
Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:
- первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
- второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.
Свойства непрерывных функций
- Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
- Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
- Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.
Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:
- постоянная;
- рациональная;
- тригонометрические.
Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.
Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.
Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.
Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.
Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.
Определение. Пусть функция у = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1. существует
2. этот предел равен значению функции в точке x0: 
При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть не определена в точке x0, а если она определена в этой точке, то значение f(x0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(x0) существует, и это значение должно быть равно lim f(x).
Определение.
Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для всех ε>0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ-окрестности точки x0 (т.е. |х-x0|
Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(x0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости δ-окрестности 0
Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Δх = x - x0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х->x0, то Δх->0, т е. Δх - б.м. (бесконечно малая) величина. Обозначим Δу = f(х)-f(x0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Δу| должно быть (при достаточно малых |Δх|) меньше произвольного числа ε>0, то Δу- тоже б.м. величина, поэтому
Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(х) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение. Функция f(х), не являющаяся непрерывной в точке x0, называется разрывной в этой точке.
Определение. Функция f(х) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции
Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций
Пусть функция f(x) определена на отрезке и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.
Теорема о промежуточном значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и в двух точках а и b (a меньше b) принимает неравные значения A = f(a) ≠ В = f(b), то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка c ∈ , в которой значение функции равно С: f(c) = C.
Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.
Теорема о непрерывности обратной функции. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [а,b]. Тогда на отрезке существует обратная функция х = g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) на и непрерывная.
Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .
Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :
Так как , то мы можем записать
Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.
Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .
Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:
А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:
Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).
Непрерывность основных элементарных функций
1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.
Сначала рассмотрим функцию f(x)=x
. По первому определению предела функции в точке a
возьмем любую последовательность {x n }
, сходящуюся к a
, тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n }
также будет сходиться к a
, то есть 
, то есть функция f(x)=x
непрерывная в любой точек числовой прямой.
Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.
2) Показательная функция.
Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.
Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:
3) Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0
при a>1
и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0
при 0
4) Гиперболические функции.
Гиперболическими функциями называются следующие функции:
Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).
5) Степенная функция
Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .
6) Тригонометрические функции.
Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .
7) Обратные тригонометрические функции.
Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.
Два замечательных предела
Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.
Этот предел называется первым замечательным пределом .
Доказательство
. При 0
Эти неравенства справедливы также и для значений x
, удовлетворяющих условиям -π/2
. Так как cos x
- непрерывная функция, то 
. Таким образом, для функций cos x
, 1 и в некоторой δ
-окрестности точки x=0
выполняются все условия теорем. Следовательно, 
.
Теорема
. Предел функции 
при x → ∞
существует и равен числу e
:
Этот предел называется вторым замечательным пределом .
Замечание . Верно также, что
Непрерывность сложной функции
Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .
Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).
Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.
СодержаниеМожно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений
. Для этого мы вводим новую переменную ,
которая называется приращением переменной x
в точке .
Тогда функция непрерывна в точке ,
если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции
в точке .
Тогда функция непрерывна в точке ,
если
.
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x)
называется непрерывной справа (слева) в точке x 0
, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0
равен значению функции в x 0
:
.
Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует такая окрестность U(x 0)
,
на которой функция ограничена.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке .
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки ,
на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .
Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции ,
и непрерывны в точке .
Если ,
то и функция непрерывна в точке .
Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.
Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций ».
Непрерывность сложной функции
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция непрерывна в точке .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .
Предел сложной функции
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при ,
и он равен :
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции ,
и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Точки разрыва
Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки .
Точка называется точкой разрыва функции
,
если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в ,
но не является в этой точке.
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода
, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции
в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва
, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода
, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и в точках a
и b
,
соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке ,
то она ограничена на этом отрезке.
Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть C
есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и .
Тогда существует точка ,
для которой
.
Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или .
Тогда существует точка ,
значение функции в которой равно нулю:
.
Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Обратные функции
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y
можно поставить в соответствие только один элемент множества X
,
для которого .
Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией
к .
Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает) , то существует обратная функция ,
которая также строго возрастает (убывает).
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке .
Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей - .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале .
Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Свойства и непрерывность элементарных функций
Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.
Показательная функция
Показательная функция f(x)
= a x
,
с основанием a > 0
- это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x
:
.
Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0)
определена, при ,
для всех ;
(П.1)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(П.2)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(П.3)
;
(П.3*)
;
(П.4)
;
(П.5)
;
(П.6)
;
(П.7)
;
(П.8)
непрерывна для всех ;
(П.9)
при ;
при .
Логарифм
Логарифмическая функция, или логарифм, y = log a x , с основанием a - это функция, обратная к показательной функции с основанием a .
Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a
,
y = log
a x
,
имеет следующие свойства:
(Л.1)
определена и непрерывна, при и ,
для положительных значений аргумента,;
(Л.2)
имеет множество значений ;
(Л.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(Л.4)
при ;
при ;
(Л.5)
;
(Л.6)
при ;
(Л.7)
при ;
(Л.8)
при ;
(Л.9)
при .
Экспонента и натуральный логарифм
В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a
,
которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e
:
.
Показательную функцию с основанием e
называют экспонентой: ,
а логарифм по основанию e
- натуральным логарифмом: .
Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х »,
«Натуральный логарифм, функция ln x »
Степенная функция
Степенная функция с показателем степени p
- это функция f(x)
= x p
,
значение которой в точке x
равно значению показательной функции с основанием x
в точке p
.
Кроме этого, f(0) = 0
p = 0
при p > 0
.
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p
при неотрицательных значениях аргумента .
Для рациональных ,
при нечетных m
,
степенная функция определена и для отрицательных x
.
В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики ».
Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p
,
с показателем p
имеет следующие свойства:
(С.1)
определена и непрерывна на множестве
при ,
при ».
Тригонометрические функции
Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin
x
), косинус (cos
x
), тангенс (tg
x
) и котангенс (ctg
x
Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin
x
), арккосинус (arccos
x
), арктангенс (arctg
x
) и арккотангенс (arcctg
x
), непрерывны на своих областях определения.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}-\)множество действительных чисел), если для любой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), такой, что \[\lim\limits_{n \to \infty } {x_n} = a,\] выполняется соотношение \[\lim\limits_{n \to \infty } f\left({{x_n}} \right) = f\left(a \right).\] На практике удобно использовать следующие \(3\) условия непрерывности функции \(f\left(x \right)\) в точке \(x = a\) (которые должны выполняться одновременно):
- Функция \(f\left(x \right)\) определена в точке \(x = a\);
- Предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right)\) существует;
- Выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right) = f\left(a \right)\).
Определение непрерывности по Коши (нотация \(\varepsilon - \delta\))
Рассмотрим функцию \(f\left(x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb{R}\), удовлетворяющих соотношению \[\left| {x - a} \right| Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке \(x = a\), если справедливо равенство \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left({a + \Delta x} \right) - f\left(a \right)} \right] = 0,\] где \(\Delta x = x - a\).
Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.
Функция является непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Теоремы непрерывности
Теорема 1.Пусть функция \(f\left(x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left(x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).
Теорема 2.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций
\({f\left(x \right)} + {g\left(x \right)}\) также непрерывна в точке \(x = a\).
Теорема 3.
Предположим, что две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций
\({f\left(x \right)} {g\left(x \right)}\) также непрерывно в точке \(x = a\).
Теорема 4.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций
\(\large\frac{{f\left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что
\({g\left(a \right)} \ne 0\).
Теорема 5.
Предположим, что функция \({f\left(x \right)}\) является дифференцируемой в точке \(x = a\).
Тогда функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции
в точке; обратное − неверно).
Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\),
то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что
\
для всех \(x\) в интервале \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок 1).
|
||
Рис.1 |
Рис.2 |
Пусть функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \({f\left(a \right)}\) и меньшее \({f\left(b \right)}\), то существует число \({x_0}\), такое, что \ Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.
Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.
Функция называется элементарной
, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием
\(4\) действий - сложение, вычитание, умножение и деление)
.
Множество основных элементарных функций
включает в себя: