Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рисунок 1 – Тангенциальное ускорение
Направление вектора тангенциального ускорения совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему, из рис. 1. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения, показано на рис. 1. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(9)
(10)
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:
(11)
1.1.5 Поступательное и вращательное движение абсолютно твёрдого тела
Движение тела считается поступательным , если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, всё время перемещается параллельно самому себе. При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения, описывают одинаковые траектории.
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая является осью вращения.
При вращении тела радиус окружности, описываемой точкой этого тела, повернётся за интервал времени на некоторый угол. Вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол повернуться за тоже время радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела. Этот угол является величиной, характеризующей вращательное движение всего тела в целом. Отсюда можно сделать вывод, что для описания вращательного движения абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси надо знать только одну переменную – угол, на который повернётся тело за определённое время.
Связь между линейной и угловой скоростями для каждой точки твёрдого тела даётся формулой:
(12)
Изучение физики начинают с рассмотрения механического движения. В общем случае тела движутся по кривым траекториям с переменными скоростями. Для их описания используют понятие ускорения. В данной статье рассмотрим, что такое тангенциальное и нормальное ускорение.
Кинематические величины. Скорость и ускорение в физике
Кинематика механического движения - это раздел физики, который занимается изучением и описанием перемещения тел в пространстве. Кинематика оперирует тремя главными величинами:
- пройденный путь;
- скорость;
- ускорение.
В случае движения по окружности используют аналогичные кинематические характеристики, которые приведены к центральному углу окружности.
С понятием скорости знаком каждый. Она показывает быстроту изменения координат тел, находящихся в движении. Скорость всегда направлена по касательной к линии, вдоль которой тело перемещается (траектории). Далее линейную скорость будем обозначать v¯, а угловую скорость - ω¯.
Ускорение - это скорость изменения величин v¯ и ω¯. Ускорение - это тоже однако ее направление совершенно не зависит от вектора скорости. Ускорение всегда направлено в сторону действующей на тело силы, которая вызывает изменение вектора скорости. Ускорение для любого типа движения можно рассчитать по формуле:
Чем сильнее изменится скорость за интервал времени dt, тем больше будет ускорение.
Касательное и нормальное ускорение
Предположим, что материальная точка движется по некоторой кривой линии. Известно, что в некоторый момент времени t ее скорость была равна v¯. Поскольку скорость - это касательный к траектории вектор, ее можно представить в следующем виде:
Здесь v - длина вектора v¯, а u t ¯ - единичный вектор скорости.
Чтобы вычислить вектор полного ускорения в момент времени t, необходимо найти производную скорости по времени. Имеем:
a¯ = dv¯ / dt = d (v × u t ¯) / dt
Поскольку модуль скорости и единичный вектор изменяются со временем, то, пользуясь правилом нахождения производной от произведения функций, получаем:
a¯ = dv / dt × u t ¯ + d (u t ¯) / dt × v
Первое слагаемое в формуле называется тангенциальной, или касательной компонентой ускорения, второе слагаемое - это нормальное ускорение.
Касательное ускорение
Еще раз запишем формулу для вычисления касательного ускорения:
a t ¯ = dv / dt × u t ¯
Это равенство означает, что тангенциальное (касательное) ускорение направлено так же, как вектор скорости в любой точке траектории. Оно численно определяет изменение модуля скорости. Например, в случае прямолинейного движения состоит только из касательной составляющей. Нормальное ускорение при таком типе перемещения равно нулю.
Причиной появления величины a t ¯ является воздействие внешней силы на движущееся тело.
В случае вращения с постоянным угловым ускорением α тангенциальная составляющая ускорения может быть вычислена по следующей формуле:
Здесь r - это радиус вращения рассматриваемой материальной точки, для которой вычисляется величина a t .
Нормальное или центростремительное ускорение
Теперь выпишем еще раз вторую компоненту полного ускорения:
a c ¯ = d (u t ¯) / dt × v
Из геометрических соображений можно показать, что производная единичного касательного к траектории вектора по времени равна отношению модуля скорости v к радиусу r в момент времени t. Тогда выражение выше запишется так:
Эта формула нормального ускорения свидетельствует, что оно, в отличие от касательной компоненты, не зависит от изменения скорости, а определяется квадратом модуля самой скорости. Также a c возрастает с уменьшением радиуса вращения при постоянной величине v.
Нормальное ускорение называют центростремительным потому, что оно направлено от центра масс вращающегося тела к оси вращения.
Причиной появления этого ускорения является центральная компонента воздействующей на тело силы. Например, в случае вращения планет вокруг нашего Солнца центростремительной силой является гравитационное притяжение.
Нормальное ускорение тела изменяет только направление скорости. Оно не способно изменить ее модуль. Этот факт является важным его отличием от касательной компоненты полного ускорения.
Поскольку центростремительное ускорение возникает всегда, когда вектор скорости поворачивается, то оно существует также в случае равномерного вращения по окружности, при котором тангенциальное ускорение равно нулю.
На практике ощутить на себе влияние нормального ускорения можно, если находиться в машине, когда она совершает затяжной поворот. В этом случае пассажиров прижимает к противоположной направлению поворота двери автомобиля. Это явление - результат действия двух сил: центробежной (смещение пассажиров со своих мест) и центростремительной (давление на пассажиров со стороны двери автомобиля).
Модуль и направление полного ускорения
Итак, мы выяснили, что тангенциальная компонента рассматриваемой физической величины направлена по касательной к траектории движения. В свою очередь, нормальная компонента перпендикулярна траектории в данной точке. Это означает, что две компоненты ускорения перпендикулярны друг другу. Их векторное сложение дает вектор полного ускорения. Вычислить его модуль можно по следующей формуле:
a = √(a t 2 + a c 2)
Направление вектора a¯ можно определить как относительно вектора a t ¯, так и относительно a c ¯. Для этого следует использовать соответствующую тригонометрическую функцию. Например, угол между полным и нормальным ускорениями равен:
Решение задачи на определение центростремительного ускорения
Колесо, которое имеет радиус 20 см, раскручивается с угловым ускорением 5 рад/с 2 в течение 10 секунд. Необходимо определить нормальное ускорение точек, находящихся на периферии колеса, через указанное время.
Для решения задачи воспользуемся формулой связи между тангенциальным и угловым ускорениями. Получаем:
Поскольку равноускоренное движение длилось в течение времени t = 10 секунд, то приобретенная за это время линейная скорость была равна:
v = a t × t = α × r × t
Полученную формулу подставляем в соответствующее выражение для нормального ускорения:
a c = v 2 / r = α 2 × t 2 × r
Остается подставить известные значения в это равенство и записать ответ: a c = 500 м/с 2 .
Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:
,
где
производная модуля скорости,
единичный вектор касательной, совпадающий
по направлению со скоростью.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:
,
где
R
радиус кривизны траектории,
единичный вектор нормали.
Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле
.
1.3. Основная задача кинематики
Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:
;
;
;
;
.
Частные случаи прямолинейного движения:
1) равномерное прямолинейное движение: ;
2)
равнопеременное прямолинейное движение:
.
1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики
При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).
Угловое
перемещение
вектор, численно равный углу поворота
тела
за время
и направленный вдоль оси вращения так,
что, глядя вдоль него, поворот тела
наблюдается происходящим по часовой
стрелке.
Угловая скорость
характеризует быстроту и направление
вращения тела, равна производной угла
поворота по времени и направлена вдоль
оси вращения как угловое перемещение.
П
ри
вращательном движении справедливы
следующие формулы:
;
;
.
Угловое
ускорение
характеризует быстроту изменения
угловой скорости с течением времени,
равно первой производной угловой
скорости и направлено вдоль оси вращения:
;
;
.
Зависимость
выражает закон вращения тела.
При равномерном вращении: = 0, = const, = t.
При
равнопеременном вращении:
= const,
,
.
Для характеристики равномерного вращательного движения используются период вращения и частота вращения.
Период вращения Т – время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью.
Частота вращения – количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени.
Угловая скорость может быть выражена следующим образом:
.
Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):
2. Динамика поступательного и вращательного движений
Законы Ньютона Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Система отсчёта, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта (ИСО). По отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.
К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).
Силой
называется векторная физическая
величина, являющаяся мерой механического
действия одного тела на другое.
Механическое действие возникает как
при непосредственном контакте
взаимодействующих тел (трение, реакция
опоры, вес и т.д.), так и посредством
силового
поля
,
существующего в пространстве (сила
тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила
характеризуется модулем, направлением
и точкой приложения.
Одновременное
действие на тело нескольких сил
,
,...,
может быть заменено действием
результирующей (равнодействующей) силы
:
=
+
+...+
=
.
Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствие внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы.
Импульсом
тела (материальной точки) называется
векторная физическая величина, равная
произведению массы тела на его скорость:
.
Импульс
системы материальных точек равен
векторной сумме импульсов точек,
составляющих систему:
.
Второй закон Ньютона : скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:
.
Если масса тела остается постоянной, то ускорение, приобретаемое телом относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:
.
Чтобы уметь решать различные задачи на движение тел по физике, необходимо знать определения физических величин, а также формулы, с помощью которых они связаны. В этой статье будут рассмотрены вопросы, что такое тангенциальная скорость, что такое полное ускорение и какие компоненты его составляют.
Понятие о скорости
Двумя основными величинами кинематики перемещения тел в пространстве являются скорость и ускорение. Скорость описывает быстроту перемещения, поэтому математическая форма записи для нее имеет следующий вид:
Вам будет интересно:
Здесь l¯ - является вектором перемещения. Иными словами, скорость - это производная по времени от пройденного пути.
Как известно, всякое тело движется по воображаемой линии, которая называется траекторией. Вектор скорости всегда направлен по касательной к этой траектории, в какой бы точке не находилось движущееся тело.
Существует несколько названий величины v¯, если рассматривать ее совместно с траекторией. Так, поскольку направлена она по касательной, то ее называют тангенциальной скоростью. Также о ней могут говорить, как о линейной физической величине в противоположность угловой скорости.
Вычисляется скорость в метрах в секунду в СИ, однако на практике часто пользуются километрами в час.
Понятие об ускорении
В отличие от скорости, которая характеризует быстроту прохождения телом траектории, ускорение - это величина, описывающая быстроту изменения скорости, что математически записывается так:
Как и скорость, ускорение - это векторная характеристика. Однако его направление не связано с вектором скорости. Оно определяется изменением направления v¯. Если в процессе движения скорость не изменяет своего вектора, тогда ускорение a¯ будет направлено вдоль той же линии, что и скорость. Такое ускорение называют тангенциальным. Если же скорость будет менять направление, сохраняя при этом абсолютное значение, то ускорение будет направлено к центру кривизны траектории. Оно называется нормальным.
Измеряется ускорение в м/с2. Например, известное всем ускорение свободного падения является тангенциальным при вертикальном подъеме или падении объекта. Его величина вблизи поверхности нашей планеты составляет 9,81 м/с2, то есть за каждую секунду падения скорость тела увеличивается на 9,81 м/с.
Причиной появления ускорения является не скорость, а сила. Если сила F оказывает действие на тело массой m, то она неминуемо создаст ускорение a, которое можно вычислить так:
Эта формула является прямым следствием из второго закона Ньютона.
Полное, нормальное и тангенциальное ускорения
Скорость и ускорение как физические величины были рассмотрены в предыдущих пунктах. Теперь мы подробнее изучим, какие компоненты составляют полное ускорение a¯.
Предположим, что тело движется со скоростью v¯ по криволинейной траектории. Тогда будет справедливо равенство:
Вектор u¯ имеет единичную длину и направлен вдоль касательной линии к траектории. Воспользовавшись таким представлением скорости v¯, получим равенство для полного ускорения:
a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.
Полученное в правом равенстве первое слагаемое называется тангенциальным ускорением. Скорость связана с ним тем фактом, что она количественно определяет изменение абсолютного значения величины v¯, не принимая во внимание ее направление.
Второе слагаемое - это нормальное ускорение. Оно количественно описывает изменение вектора скорости, не принимая во внимание изменение ее модуля.
Если обозначить как at и an тангенциальную и нормальную составляющие полного ускорения a, тогда модуль последнего можно вычислить по формуле:
a = √(at2 + an2).
Связь тангенциального ускорения и скорости
Соответствующую связь описывают кинематические выражения. Например, в случае движения по прямой с постоянным ускорением, которое является тангенциальным (нормальная составляющая равна нулю), справедливы выражения:
В случае движения по окружности с постоянным ускорением эти формулы так же справедливы.
Таким образом, какой бы ни была траектория перемещения тела, тангенциальное ускорение через тангенциальную скорость рассчитывается, как производная по времени от ее модуля, то есть:
Например, если скорость изменяется по закону v = 3*t3 + 4*t, тогда at будет равно:
at = dv/dt = 9*t2 + 4.
Скорость и нормальное ускорение
Запишем в явном виде формулу для нормальной компоненты an, имеем:
an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯
Где re¯ - единичной длины вектор, который к центру кривизны траектории направлен. Это выражение устанавливает связь тангенциальной скорости и нормального ускорения. Видим, что последнее зависит от модуля v в данный момент времени и от радиуса кривизны r.
Нормальное ускорение появляется всегда, когда изменяется вектор скорости, однако оно равно нулю, если этот вектор сохраняет направление. Говорить о величине an¯ имеет смысл только тогда, когда кривизна траектории является конечной величиной.
Выше мы отмечали, что при движении по прямой линии нормальное ускорение отсутствует. Однако в природе существует тип траектории, при движении по которой an имеет конечную величину, а at = 0 при |v¯| = const. Этой траекторией является окружность. Например, вращение с постоянной частотой металлического вала, карусели или планеты вокруг собственной оси происходит с постоянным нормальным ускорением an и нулевым тангенциальным ускорением at.
Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки
СодержаниеКинематика твердого тела
Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.
В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A
и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A
и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1)
;
(2)
.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.
Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .
См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >
Поступательное движение твердого тела
При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .
Равноускоренное движение
Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x
постоянна и равна a x
.
Тогда проекция скорости v x
и x
- координата этой точки зависят от времени t
по закону:
v x = v x0
+ a x t
;
,
где v x0
и x 0
- скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0
.
Вращательное движение твердого тела
Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz
с центром в точке O
.
Направим ось z
вдоль оси вращения. Считаем, что z
- координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy
.
Угловая скорость ω
и угловое ускорение ε
направлены вдоль оси z
:
; .
Пусть φ
- угол поворота тела, который зависит от времени t
.
Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения
на ось z
:
;
.
Рассмотрим движение точки M
,
которая находится на расстоянии r
от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r
.
Скорость точки
:
v = ω r
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение
:
a τ = ε r
.
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение
:
.
Оно направлено к оси вращения O
.
Полное ускорение
:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения
:
.
Равноускоренное движение
В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε
,
угловая скорость ω
и угол поворота φ
изменяются со временем t
по закону:
ω = ω 0
+ ε t
;
,
где ω 0
и φ 0
- угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0
.
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos
α = v B cos
β
.
Мгновенный центр скоростей
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.
Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P
плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A
и B
.
Для этого через точку A
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Через точку B
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P
.
Угловая скорость вращения тела:
.
Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).
Если известна скорость какой либо точки A
плоского тела и его угловая скорость ω
,
то скорость произвольной точки M
определяется по формуле (1)
, которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M
относительно точки A
.
То есть скорость, которую имела бы точка M
при вращении по окружности радиуса |AM|
с угловой скоростью ω
,
если бы точка A
была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM|
.
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM|
с центром в точке A
.
Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2)
. Ускорение любой точки M
равно векторной сумме ускорения некоторой точки A
и ускорения точки M
при вращении вокруг точки A
,
считая точку A
неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M
к точке A
.
Здесь ω
и ε
- угловая скорость и угловое ускорение тела.
Сложное движение точки
Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .
Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .
Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .
Теорема о сложении скоростей
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.
Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.