MA. Funktsiya chegarasi

texvc -Turar joy dahasi funktsional tahlil va tegishli fanlardagi to'plamlar shunday to'plam bo'lib, ularning har bir nuqtasi uzoqda joylashgan bu to'plam dan ortiq emas Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon .

Ta'riflar

  • Bo'lsin Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): (X, \ varrho) metrik bo'shliq mavjud, Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): X_0 \ X ichida, va Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon> 0. Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-Turar joy dahasi Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc to'plam deb ataladi
Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang: U _ (\ varepsilon) (x_0) = \ (x \ in X \ mid \ varrho (x, x_0)< \varepsilon \}.
  • Kichik to‘plam berilgan Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika / README ga qarang.): A \ kichik toʻplam X. Keyin Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-bu to'plamning qo'shnisi to'plamdir
Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ bigcup \ limits_ (x \ in A) U _ (\ varepsilon) (x).

Izohlar

  • Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon- mahalla punkti Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Matematika / README - sozlash ma'lumotnomasiga qarang.): X_0 shunday markazlashgan ochiq to'p deyiladi Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Matematika / README - sozlash ma'lumotnomasiga qarang.): X_0 va radius Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon.
  • Bu to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi
Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ (X \ in X \ mid \ mavjud y \ A \da; \ varrho (x, y)< \varepsilon\}.
  • Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-mahalla mahalla va, xususan, ochiq majmuadir.

ga misollar

Epsilon Neighbourhood haqida sharh yozing

Epsilon mahallasidan parcha

- Xo'sh, nima - tinglaylik? Chaqaloq meni sabrsizlik bilan itarib yubordi.
Biz yaqinlashdik ... Va men yorqin to'lqinning ajoyib yumshoq teginishini his qildim ... Bu ajoyib darajada yumshoq, hayratlanarli darajada nozik va tinchlantiruvchi va shu bilan birga mening hayratlanarli va biroz ehtiyotkorligimning "chuqurligi" ga kirib boradigan narsa edi. ruh... Sokin “musiqa” oyog‘im bo‘ylab millionlab turli tuslarda tebranib yugurdi va o‘rnidan turib, meni hayratlanarli darajada go‘zal, har qanday so‘zlarga to‘g‘ri kelmaydigan narsa bilan o‘rab ola boshladi... Men uchayotganimni his qildim, garchi haqiqatda parvoz yo'q edi. Bu ajoyib edi! .. Har bir hujayra yaqinlashib kelayotgan yangi to'lqinda eriydi va erib ketdi va porloq oltin meni yuvib, barcha yomon va qayg'ularni olib ketdi va qalbimda faqat sof, dastlabki nurni qoldirdi ...
Men bu yorqin mo''jizaga qanday kirganimni va deyarli boshim bilan sho'ng'iganimni his qilmadim. Bu juda yaxshi edi va men hech qachon tashqariga chiqishni xohlamadim ...
- Xo'sh, bo'pti, bo'ldi! Vazifa bizni kutmoqda! - jo'shqin go'zallikka baquvvat Stellinning ovozi kirdi. - Senga yoqdimi?
- Oh, qanday qilib! Men nafas oldim. - Men tashqariga chiqishni xohlamadim! ..
- Aynan! Shunday qilib, ba'zilar keyingi mujassamlashgunga qadar "cho'mishadi" ... Va keyin ular endi bu erga qaytib kelmaydilar ...

Sanoq chizig'idagi nuqta qo'shnisining umumiy ta'rifi ko'rib chiqiladi. Epsilonning so'nggi nuqtalari va cheksizlik nuqtalarining qo'shni, chap, o'ng va teshilgan qo'shnilarining ta'riflari. Mahalla mulki. Koshi bo'yicha funksiya chegarasini aniqlashda epsilon qo'shni va ixtiyoriy qo'shnilikdan foydalanishning ekvivalentligi haqida teorema isbotlangan.

Tarkib

Nuqtaning qo'shniligini aniqlash

Haqiqiy x nuqtaning qo'shnisi 0 Ushbu nuqtani o'z ichiga olgan har qanday ochiq interval deyiladi:
.
Mana e 1 va e 2 - ixtiyoriy ijobiy sonlar.

Epsilon - x nuqtaning qo'shnisi 0 nuqtalar to'plami, x nuqtagacha bo'lgan masofa deyiladi 0 kamroq e:
.

x nuqtaning teshilgan qo'shnisi 0 x nuqtaning o'zi chiqarib tashlangan bu nuqtaning qo'shnisi 0 :
.

Oxirgi nuqta mahallalari

Eng boshida nuqta yaqinining ta'rifi berilgan. deb ataladi. Ammo tegishli argumentlardan foydalanib, mahalla ikki raqamga bog'liqligini aniq ko'rsatishingiz mumkin:
(1) .
Ya'ni, mahalla ochiq intervalga tegishli nuqtalar to'plamidir.

Tenglash e 1 e ga 2 , biz epsilon - mahallani olamiz:
(2) .
Epsilon Neighbourhood - uchlari teng masofada joylashgan ochiq intervalga tegishli nuqtalar to'plami.
Albatta, epsilon harfi har qanday boshqa harf bilan almashtirilishi mumkin va d - mahalla, s - mahalla va boshqalarni ko'rib chiqing.

Limit nazariyasida qo'shnilik ta'rifidan ikkala to'plam (1) va to'plam (2) ga asoslangan holda foydalanish mumkin. Ushbu mahallalarning har qandayidan foydalanish ekvivalent natijalar beradi (qarang). Ammo ta'rif (2) oddiyroq, shuning uchun ko'pincha epsilon ishlatiladi - (2) dan aniqlangan nuqta qo'shnisi.

Shuningdek, chap qo'l, o'ng qo'l va teshilgan so'nggi nuqta mahallalari tushunchalari keng qo'llaniladi. Mana ularning ta'riflari.

Haqiqiy x nuqtaning chap qo'shnisi 0 x nuqtaning chap tomonidagi haqiqiy o'qda joylashgan yarim ochiq intervaldir 0 shu jumladan nuqtaning o'zi:
;
.

Haqiqiy x nuqtaning o'ng qo'shnisi 0 - x nuqtaning o'ng tomonidagi yarim ochiq oraliq 0 shu jumladan nuqtaning o'zi:
;
.

Teshilgan so'nggi nuqta mahallalari

X nuqtasining teshilgan qo'shnilari 0 nuqta o'zi chiqarib tashlangan bir xil mahallalardir. Ular harf ustidagi doira bilan ko'rsatilgan. Mana ularning ta'riflari.

x nuqtaning teshilgan qo'shnisi 0 :
.

Teshilgan epsilon - x nuqtaning qo'shnisi 0 :
;
.

Teshilgan chap tomondagi mahalla:
;
.

Teshilgan o'ng tarafdagi mahalla:
;
.

Cheksiz uzoq nuqtalarning qo'shnilari

Oxirgi nuqtalar bilan bir qatorda cheksiz uzoq nuqtalar qo'shnisi tushunchasi ham kiritiladi. Ularning barchasi teshilgan, chunki abadiylikda haqiqiy son yo'q (cheksizlik nuqtasi cheksiz katta ketma-ketlikning chegarasi sifatida belgilanadi).

.
;
;
.

Cheksiz uzoq nuqtalarning qo'shnilarini aniqlash mumkin edi va shunday qilib:
.
Lekin M o‘rniga biz kichikroq e ga ega bo‘lgan mahalla so‘nggi nuqtalar mahallalari kabi katta e ga ega bo‘lgan mahallaning kichik to‘plami ekanligini ishlatamiz.

Mahalla mulki

Bundan tashqari, biz nuqta qo'shnisining aniq xususiyatidan foydalanamiz (cheklangan yoki cheksiz uzoq). Bu shundan iboratki, e qiymati kichikroq bo'lgan punktlarning mahallalari e ning katta qiymatlari bo'lgan mahallalarning kichik to'plamidir. Biz yanada qat'iy formulalarni beramiz.

Yakuniy nuqta yoki cheksiz uzoq nuqta bo'lsin. Qo'yib yubor .
Keyin
;
;
;
;
;
;
;
.

Qarama-qarshi gaplar ham to'g'ri.

Koshi bo'yicha funksiya limiti ta'riflarining ekvivalentligi

Endi biz Koshi bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlashda ixtiyoriy qo'shnidan ham, uchlari teng masofada joylashgan qo'shnidan ham foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.

Teorema
Koshi bo'yicha funktsiya chegarasining ta'riflari, ularda ixtiyoriy mahallalar va uchlari teng masofada joylashgan mahallalar qo'llaniladi.

Isbot

Keling, shakllantiramiz funktsiya chegarasining birinchi ta'rifi.
a soni funksiyaning nuqtadagi chegarasi (cheklangan yoki cheksizlikda), agar har qanday musbat sonlar uchun quyidagilarga bog‘liq bo‘lgan raqamlar mavjud bo‘lsa, shunday qilib hamma uchun a nuqtaning tegishli qo‘shnisiga tegishli bo‘lsa:
.

Keling, shakllantiramiz funktsiya chegarasining ikkinchi ta'rifi.
a soni funktsiyaning nuqtadagi chegarasi bo'lib, agar har qanday musbat son uchun shunday raqam mavjud bo'lsa, hamma uchun:
.

Isbot 1 ⇒ 2

Agar a soni 1-ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi bo‘lsa, u ham 2-ta’rifga ko‘ra chegara ekanligini isbotlaylik.

Birinchi ta'rif qanoatlansin. Bu shuni anglatadiki, bunday funktsiyalar mavjud va shuning uchun har qanday ijobiy raqamlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:
da, qayerda.

Raqamlar va ixtiyoriy bo'lgani uchun biz ularni tenglashtiramiz:
.
Keyin shunday funktsiyalar mavjud va har qanday uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:
da, qayerda.

E'tibor bering, bu.
Musbat sonlarning eng kichigi bo'lsin va. Keyin, yuqoridagilarga ko'ra,
.
Agar, keyin.

Ya'ni, biz bunday funktsiyani topdik, shuning uchun quyidagilar har biriga to'g'ri keladi:
da, qayerda.
Demak, a soni ham ikkinchi ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi hisoblanadi.

Isbot 2 ⇒ 1

Agar a soni 2-ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi bo‘lsa, u ham 1-ta’rifga ko‘ra chegara ekanligini isbotlaylik.

Ikkinchi ta'rif qanoatlansin. Ikki ijobiy raqamni oling va. Va ularning eng kichigi bo'lsin. Keyin, ikkinchi ta'rifga ko'ra, bunday funktsiya mavjud bo'lib, har qanday musbat son uchun va hamma uchun shunday bo'ladi:
.

Lekin ko'ra,. Shuning uchun, bundan keyingi narsadan
.

Keyin har qanday ijobiy raqamlar uchun va biz ikkita raqamni topdik, shuning uchun hammasi uchun:
.

Bu birinchi ta'rifga ko'ra a soni ham chegara ekanligini anglatadi.

Teorema isbotlangan.

Adabiyotlar:
L. D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.

Nazariy minimal

Raqamlar ketma-ketligiga nisbatan chegara tushunchasi allaqachon "" mavzusida kiritilgan.
Avval undagi materiallar bilan tanishib chiqish tavsiya etiladi.

Ushbu mavzu mavzusiga o'tsak, funksiya tushunchasini eslaylik. Funktsiya displeyning yana bir misolidir. Biz eng oddiy ishni ko'rib chiqamiz
bitta haqiqiy argumentning haqiqiy funktsiyasi (boshqa holatlarning murakkabligi nima - keyinroq muhokama qilinadi). Ushbu mavzu doirasidagi funktsiya deb tushuniladi
funktsiya aniqlangan to'plamning har bir elementi bir yoki bir nechta elementlar bilan bog'langan qonun
funktsiya qiymatlari to'plami deb ataladigan to'plam. Agar funktsiya sohasining har bir elementiga bitta element tayinlangan bo'lsa
qiymatlar to‘plami, keyin funksiya bir qiymatli, aks holda funksiya ko‘p qiymatli deb ataladi. Oddiylik uchun biz faqat gaplashamiz
noaniq funktsiyalar.

Men darhol funktsiya va ketma-ketlik o'rtasidagi asosiy farqni ta'kidlamoqchiman: bu ikki holatda xaritalash orqali bog'langan to'plamlar sezilarli darajada farq qiladi.
Umumiy topologiya terminologiyasidan foydalanish zaruratidan qochish uchun, keling, farqni aniq bo'lmagan mulohazalar yordamida tushuntirib beraylik. Cheklovni muhokama qilganda
ketma-ketlik, biz faqat bitta variant haqida gaplashdik: ketma-ketlik elementi sonining cheksiz o'sishi. Bu sonning oshishi bilan elementlarning o'zi
ketma-ketliklar ancha xilma-xil edi. Ular ma'lum miqdordagi kichik mahallada "to'planishi" mumkin edi; ular cheksiz o'sishi mumkin va hokazo.
Taxminan aytganda, ketma-ketlik - bu diskret "ta'rif domenida" funktsiyani o'rnatish. Agar funksiya haqida gapiradigan bo'lsak, uning ta'rifi berilgan
mavzu boshida, keyin chegara tushunchasini aniqroq qurish kerak. Funktsiyaning chegarasi haqida gapirish mantiqan uning argumenti ma'lum bir qiymatga moyil bo'lganda .
Savolning bu bayonoti ketma-ketliklarga nisbatan qo'llanilganda mantiqiy emas edi. Ba'zi tushuntirishlarni kiritish kerak bo'ladi. Ularning barchasi bilan bog'liq
argument ko'rib chiqilayotgan ma'noga qanchalik aniq moyil bo'ladi.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik - shunchaki o'tib:


Ushbu funktsiyalar bizga eng ko'p ko'rib chiqishga imkon beradi turli holatlar... Taqdimotni yanada aniqroq qilish uchun ushbu funktsiyalarning grafiklarini bu erda taqdim etamiz.

Funktsiya ta'rif sohasining istalgan nuqtasida chegaraga ega - bu intuitiv tushunarli. Ta'rif sohasining qaysi nuqtasini olsak ham,
argument tanlangan qiymatga moyil bo'lganda funktsiya qaysi qiymatga moyilligini darhol aytishingiz mumkin va chegara cheklangan bo'ladi, agar faqat argument bo'lsa.
cheksizlikka moyil emas. Funktsiya grafigida burilish mavjud. Bu sinish nuqtasida funktsiyaning xususiyatlariga ta'sir qiladi, lekin chegara nuqtai nazaridan
bu nuqta hech narsa bilan ta'kidlanmagan. Funktsiya allaqachon qiziqroq: funktsiyaga qanday chegara qiymatini belgilash aniq emas.
Agar biz o'ngdagi nuqtaga yaqinlashsak, u holda funktsiya bir qiymatga, agar chap tomonda bo'lsa, boshqa qiymatga moyil bo'ladi. Oldingi
bunga misollar yo'q edi. Funktsiya nolga moyil bo'lganda, hech bo'lmaganda chapda, hech bo'lmaganda o'ngda, xuddi shunday harakat qiladi, abadiylikka intiladi -
argument nolga intilayotgani kabi cheksizlikka intiluvchi funksiyadan farqli o‘laroq, lekin cheksizlik belgisi qaysi biriga bog‘liq.
qo'l biz nolga kelamiz. Nihoyat, funktsiya nol darajasida mutlaqo tushunarsiz tarzda harakat qiladi.

“epsilon-delta” tilidan foydalanib, chegara tushunchasini rasmiylashtiramiz. Ketma-ketlik chegarasini belgilashdan asosiy farq zarurat bo'ladi
funktsiya argumentining ma'lum bir qiymatga moyilligini qayd etish. Buning uchun ushbu kontekstda yordamchi bo'lgan to'plamning chegara nuqtasi tushunchasi talab qilinadi.
Nuqta har qanday qo'shni bo'lsa, to'plamning chegara nuqtasi deyiladi son-sanoqsiz nuqtalarni o'z ichiga oladi,
ga tegishli va boshqa. Biroz vaqt o'tgach, nima uchun bunday ta'rif kerakligi aniq bo'ladi.

Demak, raqam to'plamning chegara nuqtasi bo'lgan nuqtadagi funktsiyaning chegarasi deb ataladi
funktsiyasi, agar

Keling, ushbu ta'rifni birma-bir tahlil qilaylik. Keling, bu erda argumentning qiymatga va funktsiyaning tendentsiyasiga bog'liq bo'lgan qismlarni ajratib ko'rsatamiz.
qiymatiga. Siz yozma bayonotning umumiy ma'nosini tushunishingiz kerak, uni taxminan quyidagicha talqin qilish mumkin.
Funktsiya atga moyil bo'ladi, agar nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisidan raqam olsa, biz bo'lamiz
raqamning etarlicha kichik qo'shnisidan funksiya qiymatini oling. Va qiymatlar olinadigan nuqtaning qo'shnisi qanchalik kichik bo'lsa
argument, funktsiyaning mos keladigan qiymatlari tushadigan nuqtaning qo'shnisi qanchalik kichik bo'lsa.

Keling, chegaraning rasmiy ta'rifiga qaytaylik va uni hozirgina aytilganlar nuqtai nazaridan o'qib chiqamiz. Ijobiy raqam mahallani cheklaydi
biz argumentning qiymatlarini oladigan nuqtadan. Bundan tashqari, argumentning qiymatlari, albatta, funktsiya sohasiga tegishli va ular bilan mos kelmaydi.
nuqta: biz tasodif emas, intilish yozyapmiz! Shunday qilib, agar biz argumentning qiymatini nuqtaning ko'rsatilgan qo'shnisidan olsak,
u holda funksiyaning qiymati nuqtaning -qo'shnisiga tushadi .
Va nihoyat, biz ta'rifni birlashtiramiz. Biz punktning mahallasini qanchalik kichik tanlamaylik, har doim nuqtaning shunday mahallasi bo'ladi,
undan argumentning qiymatlarini tanlashda biz nuqta yaqiniga kiramiz. Albatta, bu holatda nuqtaning -mahallasining o'lchami
nuqta qo'shnisi nima ko'rsatilganiga bog'liq. Agar funktsiya qiymatining qo'shnisi etarlicha katta bo'lsa, u holda qiymatlarning tegishli tarqalishi
argument ajoyib bo'ladi. Funktsiya qiymatining qo'shniligining pasayishi bilan argument qiymatlarining mos keladigan tarqalishi ham kamayadi (2-rasmga qarang).

Ayrim tafsilotlarga aniqlik kiritish qoladi. Birinchidan, nuqtaning yakuniy bo'lishini talab qilish, bu nuqta ekanligi haqida tashvishlanish zaruratini yo'q qiladi
-neighborhooddan odatda funksiya sohasiga tegishli. Ikkinchidan, shartning chegarasini aniqlashda ishtirok etish anglatadi
argument chap va o'ngdagi qiymatga moyil bo'lishi mumkin.

Agar funktsiya argumenti cheksizlikka moyil bo'lsa, chegara nuqtasi tushunchasi alohida belgilanishi kerak. chegara deb ataladi
to'plam nuqtasi, agar har qanday musbat son uchun interval cheksiz to'plamga ega bo'lsa
to'plamdan ochkolar.

Keling, misollarga qaytaylik. Funktsiya biz uchun alohida qiziqish uyg'otmaydi. Keling, boshqa funktsiyalarni batafsil ko'rib chiqaylik.

Misollar.

1-misol. Funktsiya grafigida burilish mavjud.
Funktsiya nuqtadagi o'ziga xoslikka qaramasdan, bu nuqtada uning chegarasi bor. Noldagi xususiyat silliqlikni yo'qotishdir.

2-misol. Bir tomonlama chegaralar.
Nuqtadagi funktsiyaning chegarasi yo'q. Yuqorida aytib o'tilganidek, chegara mavjudligi uchun parvarish qilishda talab qilinadi
chap va o'ngda funksiya bir xil qiymatga intiladi. Bu erda to'g'ri emasligi aniq. Biroq, bir tomonlama chegara tushunchasi kiritilishi mumkin.
Agar argument kattaroq qiymatlar tomonidan berilgan qiymatga moyil bo'lsa, u holda o'ng chegara haqida gapiriladi; agar kichikroq qiymatlar tomondan bo'lsa -
chap qo'l chegarasi haqida.
Funktsiya holatida
- o'ng tomonli chegara Biroq, cheksiz sinus tebranishlari chegara mavjudligiga to'sqinlik qilmasa, misol keltirish mumkin (bundan tashqari, ikki tomonlama).
Masalan, funksiya ... Grafik quyida ko'rsatilgan; aniq sabablarga ko'ra mahallada oxirigacha qurish
kelib chiqishi mumkin emas. Cheklov nolga teng.

Izohlar.
1. Funksiya chegarasini ketma-ketlik chegarasi yordamida aniqlashga yondashuv mavjud - deb ataladi. Geyne ta'rifi. U erda kerakli qiymatga yaqinlashadigan nuqtalar ketma-ketligi quriladi
argument - keyin funktsiya qiymatlarining tegishli ketma-ketligi argumentning ushbu qiymatida funktsiya chegarasiga yaqinlashadi. Geyne ta'rifi va ta'rifining tildagi ekvivalentligi
"epsilon-delta" isbotlangan.
2. Ikki yoki undan ortiq argumentlarning funksiyalari ishi shu bilan murakkablashadiki, biror nuqtada chegara mavjudligi uchun argumentni intilishning har qanday usuli uchun chegara qiymati bir xil bo‘lib chiqishi talab qilinadi.
kerakli qiymatga. Agar bitta dalil bo'lsa, siz chap yoki o'ngdan kerakli qiymatga intishingiz mumkin. Qachon Ko'proq o'zgaruvchilar, variantlar soni keskin ortadi. Funktsional holat
murakkab o'zgaruvchi va alohida muhokamani talab qiladi.

Tengsizliklar va modullardan tashqari qanday belgilarni bilasiz?

Biz algebra kursidan quyidagi yozuvni bilamiz:

- universallik kvantifikatori "har qanday uchun", "hamma uchun", "hamma uchun" degan ma'noni anglatadi, ya'ni yozuv "har qanday ijobiy epsilon uchun" o'qilishi kerak;

- ekzistensial kvantifikator, - natural sonlar to`plamiga tegishli qiymat mavjud.

- uzun vertikal tayoq shunday o'qiydi: "bunday", "bunday", "bunday" yoki "bunday", bizning holatlarimizda, aniqki, biz raqam haqida gapiramiz - shuning uchun "bunday";

- hamma uchun "en", kattaroq;

- modul belgisi masofani bildiradi, ya'ni. bu yozuv bizga qiymatlar orasidagi masofa epsilondan kamroq ekanligini aytadi.

Ketma-ketlik chegarasini aniqlash

Va aslida, keling, bir oz o'ylab ko'raylik - ketma-ketlikning qat'iy ta'rifini qanday shakllantirish kerak? ...Amaliy mashg‘ulot nuqtai nazaridan aqlga kelgan birinchi narsa: “ketma-ketlik chegarasi qator a’zolari cheksiz yaqin bo‘lgan sondir”.

Mayli, keling, ketma-ketlikni yozamiz:

Quyi ketma-ketlik –1 soniga cheksiz yaqin ekanligini va juft sonli atamalar “bir”ga yaqinlashishini ko‘rish oson.

Yoki ikkita chegara bormi? Lekin nega ba'zi ketma-ketlikda o'n yoki yigirma bo'lishi mumkin emas? Bu uzoqqa borishi mumkin. Shu munosabat bilan, agar ketma-ketlik chegarasiga ega bo'lsa, u yagonadir, deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri.

Eslatma: ketma-ketlikning chegarasi yo'q, lekin undan ikkita pastki ketma-ketlikni ajratish mumkin (yuqoriga qarang), ularning har biri o'z chegarasiga ega.

Shunday qilib, yuqoridagi ta'rif asossiz bo'lib chiqadi. Ha, bu kabi holatlar uchun ishlaydi (amaliy misollarning soddalashtirilgan tushuntirishlarida men unchalik to'g'ri foydalanmadim), ammo endi biz qat'iy ta'rifni topishimiz kerak.

Ikkinchi urinish: "ketma-ketlik chegarasi - bu ketma-ketlikning HAMMA a'zolari yaqinlashadigan son, ehtimol ularning cheklangan soni bundan mustasno." Bu haqiqatga yaqinroq, ammo baribir to'liq aniq emas. Shunday qilib, masalan, ketma-ketlikda, atamalarning yarmi nolga umuman yaqinlashmaydi - ular shunchaki unga teng =) Aytgancha, "flasher" odatda ikkita sobit qiymatni oladi.

Formulyatsiyani aniqlashtirish qiyin emas, lekin keyin yana bir savol tug'iladi: ta'rifni matematik belgilarda qanday yozish kerak? Ilmiy dunyo bu muammo bilan uzoq vaqt kurashdi, toki vaziyat mashhur maestro tomonidan hal qilinmaguncha, mohiyatan klassik hisob-kitoblarni barcha jiddiyligi bilan rasmiylashtirdi. Koshi mahallalar bilan ishlashni taklif qildi, bu esa nazariyani sezilarli darajada ilgari surdi.


Bir nuqtani va uning ixtiyoriy qo'shniligini ko'rib chiqing:

"Epsilon" ning ma'nosi har doim ijobiydir va bundan tashqari, biz uni o'zimiz tanlashga haqlimiz. Faraz qilaylik, ma'lum bir mahallada ma'lum ketma-ketlikdagi a'zolar to'plami (barchasi shart emas) mavjud. Masalan, o'ninchi a'zo mahallaga kirganini qanday yozish kerak? Uning o'ng tomonida bo'lsin. Keyin nuqtalar orasidagi masofa "epsilon" dan kam bo'lishi kerak:. Biroq, agar "x o'ninchi" "a" nuqtasining chap tomonida joylashgan bo'lsa, u holda farq salbiy bo'ladi va shuning uchun unga modul belgisi qo'shilishi kerak:.

Ta'rif: agar uning qo'shnilaridan birortasi uchun (oldindan tanlangan) natural son mavjud bo'lsa, raqam ketma-ketlikning chegarasi deb ataladi - BUNDAY, yuqori raqamlarga ega bo'lgan ketma-ketlikning HAMMA a'zolari mahalla ichida bo'ladi:

Yoki qisqasi: agar

Ya’ni, “epsilon”ning qiymati qanchalik kichik bo‘lmasin, ertami-kechmi ketma-ketlikning “cheksiz dumi” bu mahallada TO‘LIM bo‘ladi.

Masalan, ketma-ketlikning “cheksiz dumi” nuqtaning har qanday ixtiyoriy kichik qo'shnisiga TO'LIQ kirib boradi.Demak, bu qiymat ta'rifi bo'yicha ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi. Sizga shuni eslatamanki, chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketlik chaqiriladi cheksiz kichik.

Shuni ta'kidlash kerakki, ketma-ketlik uchun endi "cheksiz dum kiradi" deyish mumkin emas - toq sonli a'zolar aslida nolga teng va "hech qaerga bormang" =) "Fe'li" shuning uchun. tugaydi” ta’rifida qo‘llangan. Va, albatta, bunday ketma-ketlikning a'zolari ham "hech qaerga bormaydilar". Aytgancha, raqam chegara ekanligini tekshiring.

Endi biz ketma-ketlikning chegarasi yo'qligini ko'rsatamiz. Masalan, nuqtaning qo'shnisini ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, BARCHA a'zolar ma'lum bir mahallada bo'ladigan bunday raqam yo'qligi aniq - toq a'zolar har doim "minus bir" ga "sakrab chiqadilar". Shunga o'xshash sababga ko'ra, nuqtada chegara yo'q.

Ketma-ketlik chegarasi nolga teng ekanligini isbotlang. Nuqtaning ixtiyoriy ravishda kichik bo'lgan har qanday qo'shni hududida ketma-ketlikning barcha a'zolari kafolatlangan raqamni ko'rsating.

Eslatma: ko'p ketma-ketliklar uchun kerakli natural son qiymatga bog'liq - shuning uchun yozuv.

Yechim: nuqtaning ixtiyoriy qo'shnisini ko'rib chiqing va raqamlari yuqori bo'lgan HAMMA a'zolar shu mahallada bo'ladigan raqam mavjudligini tekshiring:

Istalgan raqamning mavjudligini ko'rsatish uchun biz orqali ifodalaymiz.

"en" ning har qanday qiymati uchun modul belgisi olib tashlanishi mumkin:

Tengsizliklar bilan "maktab" amallaridan foydalanamiz, buni men "Chiziqli tengsizliklar" va "Funktsiya sohasi" darslarida takrorladim. Bunday holda, "epsilon" va "en" ning ijobiy ekanligi muhim holat:

Chap tomonda biz natural sonlar haqida, o'ng tomonda esa gapiramiz umumiy holat kasr bo'lsa, uni yaxlitlash kerak:

Eslatma: ba'zida xavfsiz tomonda bo'lish uchun o'ngga birlik qo'shiladi, lekin bu aslida ortiqcha. Nisbatan aytganda, agar yaxlitlash orqali natijani ham zaiflashtirsak, eng yaqin mos raqam ("uch") baribir dastlabki tengsizlikni qondiradi.

Endi biz tengsizlikka qaraymiz va eslaymizki, dastlab biz o'zboshimchalik bilan - qo'shnichilikni ko'rib chiqdik, ya'ni. Epsilon har qanday ijobiy raqam bo'lishi mumkin.

Chiqish : nuqtaning har qanday ixtiyoriy kichik -qo'shnisi uchun shunday qiymat topildiki, tengsizlik barcha katta sonlar uchun amal qiladi. Shunday qilib, raqam ta'rif bo'yicha ketma-ketlikning chegarasidir. Q.E.D.

Aytgancha, olingan natijadan tabiiy qonuniyat aniq ko'rinadi: mahalla qanchalik kichik bo'lsa, ketma-ketlikning HAMMA a'zolari shu mahallada shunchalik ko'p bo'ladi. Ammo "epsilon" qanchalik kichik bo'lmasin, har doim ichkarida va tashqarisida, hatto katta, ammo cheklangan miqdordagi a'zolar "cheksiz dum" bo'ladi.