texvc
-Turar joy dahasi funktsional tahlil va tegishli fanlardagi to'plamlar shunday to'plam bo'lib, ularning har bir nuqtasi uzoqda joylashgan bu to'plam dan ortiq emas Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan texvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon
.
Ta'riflar
- Bo'lsin Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan
texvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): (X, \ varrho) metrik bo'shliq mavjud, Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): X_0 \ X ichida, va Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon> 0. Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-Turar joy dahasi Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
to'plam deb ataladi
texvc
topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang: U _ (\ varepsilon) (x_0) = \ (x \ in X \ mid \ varrho (x, x_0)< \varepsilon \}.
- Kichik to‘plam berilgan Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan
texvc
topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika / README ga qarang.): A \ kichik toʻplam X. Keyin Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-bu to'plamning qo'shnisi to'plamdir
texvc
topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ bigcup \ limits_ (x \ in A) U _ (\ varepsilon) (x).
Izohlar
- Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan
texvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon- mahalla punkti Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Matematika / README - sozlash ma'lumotnomasiga qarang.): X_0 shunday markazlashgan ochiq to'p deyiladi Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Matematika / README - sozlash ma'lumotnomasiga qarang.): X_0 va radius Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigantexvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon. - Bu to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi
texvc
topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika / README ga qarang.): U _ (\ varepsilon) (A) = \ (X \ in X \ mid \ mavjud y \ A \da; \ varrho (x, y)< \varepsilon\}.
- Ifodani tahlil qilib bo‘lmadi (bajariladigan
texvc
topilmadi; Konfiguratsiya yordami uchun matematika / README ga qarang.): \ Varepsilon-mahalla mahalla va, xususan, ochiq majmuadir.
ga misollar
Epsilon Neighbourhood haqida sharh yozing
Epsilon mahallasidan parcha
- Xo'sh, nima - tinglaylik? Chaqaloq meni sabrsizlik bilan itarib yubordi.Biz yaqinlashdik ... Va men yorqin to'lqinning ajoyib yumshoq teginishini his qildim ... Bu ajoyib darajada yumshoq, hayratlanarli darajada nozik va tinchlantiruvchi va shu bilan birga mening hayratlanarli va biroz ehtiyotkorligimning "chuqurligi" ga kirib boradigan narsa edi. ruh... Sokin “musiqa” oyog‘im bo‘ylab millionlab turli tuslarda tebranib yugurdi va o‘rnidan turib, meni hayratlanarli darajada go‘zal, har qanday so‘zlarga to‘g‘ri kelmaydigan narsa bilan o‘rab ola boshladi... Men uchayotganimni his qildim, garchi haqiqatda parvoz yo'q edi. Bu ajoyib edi! .. Har bir hujayra yaqinlashib kelayotgan yangi to'lqinda eriydi va erib ketdi va porloq oltin meni yuvib, barcha yomon va qayg'ularni olib ketdi va qalbimda faqat sof, dastlabki nurni qoldirdi ...
Men bu yorqin mo''jizaga qanday kirganimni va deyarli boshim bilan sho'ng'iganimni his qilmadim. Bu juda yaxshi edi va men hech qachon tashqariga chiqishni xohlamadim ...
- Xo'sh, bo'pti, bo'ldi! Vazifa bizni kutmoqda! - jo'shqin go'zallikka baquvvat Stellinning ovozi kirdi. - Senga yoqdimi?
- Oh, qanday qilib! Men nafas oldim. - Men tashqariga chiqishni xohlamadim! ..
- Aynan! Shunday qilib, ba'zilar keyingi mujassamlashgunga qadar "cho'mishadi" ... Va keyin ular endi bu erga qaytib kelmaydilar ...
Sanoq chizig'idagi nuqta qo'shnisining umumiy ta'rifi ko'rib chiqiladi. Epsilonning so'nggi nuqtalari va cheksizlik nuqtalarining qo'shni, chap, o'ng va teshilgan qo'shnilarining ta'riflari. Mahalla mulki. Koshi bo'yicha funksiya chegarasini aniqlashda epsilon qo'shni va ixtiyoriy qo'shnilikdan foydalanishning ekvivalentligi haqida teorema isbotlangan.
TarkibNuqtaning qo'shniligini aniqlash
Haqiqiy x nuqtaning qo'shnisi 0
Ushbu nuqtani o'z ichiga olgan har qanday ochiq interval deyiladi:
.
Mana e 1
va e 2
- ixtiyoriy ijobiy sonlar.
Epsilon - x nuqtaning qo'shnisi 0
nuqtalar to'plami, x nuqtagacha bo'lgan masofa deyiladi 0
kamroq e:
.
x nuqtaning teshilgan qo'shnisi 0
x nuqtaning o'zi chiqarib tashlangan bu nuqtaning qo'shnisi 0
:
.
Oxirgi nuqta mahallalari
Eng boshida nuqta yaqinining ta'rifi berilgan. deb ataladi. Ammo tegishli argumentlardan foydalanib, mahalla ikki raqamga bog'liqligini aniq ko'rsatishingiz mumkin:
(1)
.
Ya'ni, mahalla ochiq intervalga tegishli nuqtalar to'plamidir.
Tenglash e 1
e ga 2
, biz epsilon - mahallani olamiz:
(2)
.
Epsilon Neighbourhood - uchlari teng masofada joylashgan ochiq intervalga tegishli nuqtalar to'plami.
Albatta, epsilon harfi har qanday boshqa harf bilan almashtirilishi mumkin va d - mahalla, s - mahalla va boshqalarni ko'rib chiqing.
Limit nazariyasida qo'shnilik ta'rifidan ikkala to'plam (1) va to'plam (2) ga asoslangan holda foydalanish mumkin. Ushbu mahallalarning har qandayidan foydalanish ekvivalent natijalar beradi (qarang). Ammo ta'rif (2) oddiyroq, shuning uchun ko'pincha epsilon ishlatiladi - (2) dan aniqlangan nuqta qo'shnisi.
Shuningdek, chap qo'l, o'ng qo'l va teshilgan so'nggi nuqta mahallalari tushunchalari keng qo'llaniladi. Mana ularning ta'riflari.
Haqiqiy x nuqtaning chap qo'shnisi 0
x nuqtaning chap tomonidagi haqiqiy o'qda joylashgan yarim ochiq intervaldir 0
shu jumladan nuqtaning o'zi:
;
.
Haqiqiy x nuqtaning o'ng qo'shnisi 0
- x nuqtaning o'ng tomonidagi yarim ochiq oraliq 0
shu jumladan nuqtaning o'zi:
;
.
Teshilgan so'nggi nuqta mahallalari
X nuqtasining teshilgan qo'shnilari 0 nuqta o'zi chiqarib tashlangan bir xil mahallalardir. Ular harf ustidagi doira bilan ko'rsatilgan. Mana ularning ta'riflari.
x nuqtaning teshilgan qo'shnisi 0
:
.
Teshilgan epsilon - x nuqtaning qo'shnisi 0
:
;
.
Teshilgan chap tomondagi mahalla:
;
.
Teshilgan o'ng tarafdagi mahalla:
;
.
Cheksiz uzoq nuqtalarning qo'shnilari
Oxirgi nuqtalar bilan bir qatorda cheksiz uzoq nuqtalar qo'shnisi tushunchasi ham kiritiladi. Ularning barchasi teshilgan, chunki abadiylikda haqiqiy son yo'q (cheksizlik nuqtasi cheksiz katta ketma-ketlikning chegarasi sifatida belgilanadi).
.
;
;
.
Cheksiz uzoq nuqtalarning qo'shnilarini aniqlash mumkin edi va shunday qilib:
.
Lekin M o‘rniga biz kichikroq e ga ega bo‘lgan mahalla so‘nggi nuqtalar mahallalari kabi katta e ga ega bo‘lgan mahallaning kichik to‘plami ekanligini ishlatamiz.
Mahalla mulki
Bundan tashqari, biz nuqta qo'shnisining aniq xususiyatidan foydalanamiz (cheklangan yoki cheksiz uzoq). Bu shundan iboratki, e qiymati kichikroq bo'lgan punktlarning mahallalari e ning katta qiymatlari bo'lgan mahallalarning kichik to'plamidir. Biz yanada qat'iy formulalarni beramiz.
Yakuniy nuqta yoki cheksiz uzoq nuqta bo'lsin. Qo'yib yubor .
Keyin
;
;
;
;
;
;
;
.
Qarama-qarshi gaplar ham to'g'ri.
Koshi bo'yicha funksiya limiti ta'riflarining ekvivalentligi
Endi biz Koshi bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlashda ixtiyoriy qo'shnidan ham, uchlari teng masofada joylashgan qo'shnidan ham foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Teorema
Koshi bo'yicha funktsiya chegarasining ta'riflari, ularda ixtiyoriy mahallalar va uchlari teng masofada joylashgan mahallalar qo'llaniladi.
Isbot
Keling, shakllantiramiz funktsiya chegarasining birinchi ta'rifi.
a soni funksiyaning nuqtadagi chegarasi (cheklangan yoki cheksizlikda), agar har qanday musbat sonlar uchun quyidagilarga bog‘liq bo‘lgan raqamlar mavjud bo‘lsa, shunday qilib hamma uchun a nuqtaning tegishli qo‘shnisiga tegishli bo‘lsa:
.
Keling, shakllantiramiz funktsiya chegarasining ikkinchi ta'rifi.
a soni funktsiyaning nuqtadagi chegarasi bo'lib, agar har qanday musbat son uchun shunday raqam mavjud bo'lsa, hamma uchun:
.
Isbot 1 ⇒ 2
Agar a soni 1-ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi bo‘lsa, u ham 2-ta’rifga ko‘ra chegara ekanligini isbotlaylik.
Birinchi ta'rif qanoatlansin. Bu shuni anglatadiki, bunday funktsiyalar mavjud va shuning uchun har qanday ijobiy raqamlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:
da, qayerda.
Raqamlar va ixtiyoriy bo'lgani uchun biz ularni tenglashtiramiz:
.
Keyin shunday funktsiyalar mavjud va har qanday uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:
da, qayerda.
E'tibor bering, bu.
Musbat sonlarning eng kichigi bo'lsin va. Keyin, yuqoridagilarga ko'ra,
.
Agar, keyin.
Ya'ni, biz bunday funktsiyani topdik, shuning uchun quyidagilar har biriga to'g'ri keladi:
da, qayerda.
Demak, a soni ham ikkinchi ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi hisoblanadi.
Isbot 2 ⇒ 1
Agar a soni 2-ta’rifga ko‘ra funksiyaning chegarasi bo‘lsa, u ham 1-ta’rifga ko‘ra chegara ekanligini isbotlaylik.
Ikkinchi ta'rif qanoatlansin. Ikki ijobiy raqamni oling va. Va ularning eng kichigi bo'lsin. Keyin, ikkinchi ta'rifga ko'ra, bunday funktsiya mavjud bo'lib, har qanday musbat son uchun va hamma uchun shunday bo'ladi:
.
Lekin ko'ra,. Shuning uchun, bundan keyingi narsadan
.
Keyin har qanday ijobiy raqamlar uchun va biz ikkita raqamni topdik, shuning uchun hammasi uchun:
.
Bu birinchi ta'rifga ko'ra a soni ham chegara ekanligini anglatadi.
Teorema isbotlangan.
Adabiyotlar:
L. D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
Tengsizliklar va modullardan tashqari qanday belgilarni bilasiz?
Biz algebra kursidan quyidagi yozuvni bilamiz:
- universallik kvantifikatori "har qanday uchun", "hamma uchun", "hamma uchun" degan ma'noni anglatadi, ya'ni yozuv "har qanday ijobiy epsilon uchun" o'qilishi kerak;
- ekzistensial kvantifikator, - natural sonlar to`plamiga tegishli qiymat mavjud.
- uzun vertikal tayoq shunday o'qiydi: "bunday", "bunday", "bunday" yoki "bunday", bizning holatlarimizda, aniqki, biz raqam haqida gapiramiz - shuning uchun "bunday";
- hamma uchun "en", kattaroq;
- modul belgisi masofani bildiradi, ya'ni. bu yozuv bizga qiymatlar orasidagi masofa epsilondan kamroq ekanligini aytadi.
Ketma-ketlik chegarasini aniqlash
Va aslida, keling, bir oz o'ylab ko'raylik - ketma-ketlikning qat'iy ta'rifini qanday shakllantirish kerak? ...Amaliy mashg‘ulot nuqtai nazaridan aqlga kelgan birinchi narsa: “ketma-ketlik chegarasi qator a’zolari cheksiz yaqin bo‘lgan sondir”.
Mayli, keling, ketma-ketlikni yozamiz:
Quyi ketma-ketlik –1 soniga cheksiz yaqin ekanligini va juft sonli atamalar “bir”ga yaqinlashishini ko‘rish oson.
Yoki ikkita chegara bormi? Lekin nega ba'zi ketma-ketlikda o'n yoki yigirma bo'lishi mumkin emas? Bu uzoqqa borishi mumkin. Shu munosabat bilan, agar ketma-ketlik chegarasiga ega bo'lsa, u yagonadir, deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri.
Eslatma: ketma-ketlikning chegarasi yo'q, lekin undan ikkita pastki ketma-ketlikni ajratish mumkin (yuqoriga qarang), ularning har biri o'z chegarasiga ega.
Shunday qilib, yuqoridagi ta'rif asossiz bo'lib chiqadi. Ha, bu kabi holatlar uchun ishlaydi (amaliy misollarning soddalashtirilgan tushuntirishlarida men unchalik to'g'ri foydalanmadim), ammo endi biz qat'iy ta'rifni topishimiz kerak.
Ikkinchi urinish: "ketma-ketlik chegarasi - bu ketma-ketlikning HAMMA a'zolari yaqinlashadigan son, ehtimol ularning cheklangan soni bundan mustasno." Bu haqiqatga yaqinroq, ammo baribir to'liq aniq emas. Shunday qilib, masalan, ketma-ketlikda, atamalarning yarmi nolga umuman yaqinlashmaydi - ular shunchaki unga teng =) Aytgancha, "flasher" odatda ikkita sobit qiymatni oladi.
Formulyatsiyani aniqlashtirish qiyin emas, lekin keyin yana bir savol tug'iladi: ta'rifni matematik belgilarda qanday yozish kerak? Ilmiy dunyo bu muammo bilan uzoq vaqt kurashdi, toki vaziyat mashhur maestro tomonidan hal qilinmaguncha, mohiyatan klassik hisob-kitoblarni barcha jiddiyligi bilan rasmiylashtirdi. Koshi mahallalar bilan ishlashni taklif qildi, bu esa nazariyani sezilarli darajada ilgari surdi.
Bir nuqtani va uning ixtiyoriy qo'shniligini ko'rib chiqing:
"Epsilon" ning ma'nosi har doim ijobiydir va bundan tashqari, biz uni o'zimiz tanlashga haqlimiz. Faraz qilaylik, ma'lum bir mahallada ma'lum ketma-ketlikdagi a'zolar to'plami (barchasi shart emas) mavjud. Masalan, o'ninchi a'zo mahallaga kirganini qanday yozish kerak? Uning o'ng tomonida bo'lsin. Keyin nuqtalar orasidagi masofa "epsilon" dan kam bo'lishi kerak:. Biroq, agar "x o'ninchi" "a" nuqtasining chap tomonida joylashgan bo'lsa, u holda farq salbiy bo'ladi va shuning uchun unga modul belgisi qo'shilishi kerak:.
Ta'rif: agar uning qo'shnilaridan birortasi uchun (oldindan tanlangan) natural son mavjud bo'lsa, raqam ketma-ketlikning chegarasi deb ataladi - BUNDAY, yuqori raqamlarga ega bo'lgan ketma-ketlikning HAMMA a'zolari mahalla ichida bo'ladi:
Yoki qisqasi: agar
Ya’ni, “epsilon”ning qiymati qanchalik kichik bo‘lmasin, ertami-kechmi ketma-ketlikning “cheksiz dumi” bu mahallada TO‘LIM bo‘ladi.
Masalan, ketma-ketlikning “cheksiz dumi” nuqtaning har qanday ixtiyoriy kichik qo'shnisiga TO'LIQ kirib boradi.Demak, bu qiymat ta'rifi bo'yicha ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi. Sizga shuni eslatamanki, chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketlik chaqiriladi cheksiz kichik.
Shuni ta'kidlash kerakki, ketma-ketlik uchun endi "cheksiz dum kiradi" deyish mumkin emas - toq sonli a'zolar aslida nolga teng va "hech qaerga bormang" =) "Fe'li" shuning uchun. tugaydi” ta’rifida qo‘llangan. Va, albatta, bunday ketma-ketlikning a'zolari ham "hech qaerga bormaydilar". Aytgancha, raqam chegara ekanligini tekshiring.
Endi biz ketma-ketlikning chegarasi yo'qligini ko'rsatamiz. Masalan, nuqtaning qo'shnisini ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, BARCHA a'zolar ma'lum bir mahallada bo'ladigan bunday raqam yo'qligi aniq - toq a'zolar har doim "minus bir" ga "sakrab chiqadilar". Shunga o'xshash sababga ko'ra, nuqtada chegara yo'q.
Ketma-ketlik chegarasi nolga teng ekanligini isbotlang. Nuqtaning ixtiyoriy ravishda kichik bo'lgan har qanday qo'shni hududida ketma-ketlikning barcha a'zolari kafolatlangan raqamni ko'rsating.
Eslatma: ko'p ketma-ketliklar uchun kerakli natural son qiymatga bog'liq - shuning uchun yozuv.
Yechim: nuqtaning ixtiyoriy qo'shnisini ko'rib chiqing va raqamlari yuqori bo'lgan HAMMA a'zolar shu mahallada bo'ladigan raqam mavjudligini tekshiring:
Istalgan raqamning mavjudligini ko'rsatish uchun biz orqali ifodalaymiz.
"en" ning har qanday qiymati uchun modul belgisi olib tashlanishi mumkin:
Tengsizliklar bilan "maktab" amallaridan foydalanamiz, buni men "Chiziqli tengsizliklar" va "Funktsiya sohasi" darslarida takrorladim. Bunday holda, "epsilon" va "en" ning ijobiy ekanligi muhim holat:
Chap tomonda biz natural sonlar haqida, o'ng tomonda esa gapiramiz umumiy holat kasr bo'lsa, uni yaxlitlash kerak:
Eslatma: ba'zida xavfsiz tomonda bo'lish uchun o'ngga birlik qo'shiladi, lekin bu aslida ortiqcha. Nisbatan aytganda, agar yaxlitlash orqali natijani ham zaiflashtirsak, eng yaqin mos raqam ("uch") baribir dastlabki tengsizlikni qondiradi.
Endi biz tengsizlikka qaraymiz va eslaymizki, dastlab biz o'zboshimchalik bilan - qo'shnichilikni ko'rib chiqdik, ya'ni. Epsilon har qanday ijobiy raqam bo'lishi mumkin.
Chiqish : nuqtaning har qanday ixtiyoriy kichik -qo'shnisi uchun shunday qiymat topildiki, tengsizlik barcha katta sonlar uchun amal qiladi. Shunday qilib, raqam ta'rif bo'yicha ketma-ketlikning chegarasidir. Q.E.D.
Aytgancha, olingan natijadan tabiiy qonuniyat aniq ko'rinadi: mahalla qanchalik kichik bo'lsa, ketma-ketlikning HAMMA a'zolari shu mahallada shunchalik ko'p bo'ladi. Ammo "epsilon" qanchalik kichik bo'lmasin, har doim ichkarida va tashqarisida, hatto katta, ammo cheklangan miqdordagi a'zolar "cheksiz dum" bo'ladi.