Raqamlarni ifodalashning ko'plab usullari mavjud. Qanday bo'lmasin, raqam biron alifbo belgisi yoki so'zlar guruhi (so'z) bilan ifodalanadi. Bunday belgilar raqamlar deb ataladi.
Raqamli tizimlar
Raqamlarni ifodalash uchun pozitsion bo'lmagan va pozitsion sanoq tizimlari ishlatiladi.
Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalari
Odamlar sanashni boshlashlari bilanoq, ularga raqamlarni yozish kerak edi. Arxeologlarning ibtidoiy odamlarning joylarida topganlari shuni ko'rsatadiki, dastlab ob'ektlar soni har xil piktogrammalarda (teglarda) teng ravishda ko'rsatilgan: kesiklar, chiziqlar, nuqta. Keyinchalik, hisoblash oson bo'lishi uchun bu piktogrammalar uch yoki beshga guruhlana boshladi. Bu raqamlarni yozish tizimi deyiladi yagona (yagona), chunki undagi har qanday raqam bitta belgini takrorlash orqali hosil bo'ladi. Birlik sanoq sistemasining aks -sadosi bugun ham topilgan. Shunday qilib, harbiy maktab kursanti qaysi kursda o'qishini bilish uchun siz uning yengiga nechta chiziqlar tikilganligini hisoblashingiz kerak. Bolalar buni sezmay, birlik raqamlari tizimidan foydalanadilar, barmoqlariga yoshlarini ko'rsatadilar va 1 -sinf o'quvchilarini sanashga o'rgatish uchun tayoqlar ishlatiladi. Keling, har xil sanoq sistemalarini ko'rib chiqaylik.
Unitar tizim raqamlarni yozishning eng qulay usuli emas. Shu tarzda yozing katta miqdorda zerikarli va yozuvlarning o'zi juda uzun. Vaqt o'tishi bilan boshqa, qulayroq sanoq tizimlari paydo bo'ldi.
Qadimgi Misr o'nlik pozitsion bo'lmagan sanoq tizimi... Taxminan miloddan avvalgi III ming yillikda qadimgi misrliklar o'zlarining raqamli tizimini ixtiro qilganlar, unda asosiy raqamlar 1, 10, 100 va hokazo. maxsus piktogrammalar ishlatilgan - ierogliflar. Boshqa barcha raqamlar qo'shish operatsiyasi yordamida shu kalitlardan tuzilgan. Qadimgi Misrning sanoq tizimi o'nlik, ammo pozitsion bo'lmagan. Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalarida har bir raqamning miqdoriy ekvivalenti uning raqamlar yozuvidagi holatiga (joyiga, pozitsiyasiga) bog'liq emas. Masalan, 3252 yilni tasvirlash uchun uchta lotus gullari (uch ming), ikkita bukilgan palma barglari (ikki yuz), beshta yoy (besh o'nlab) va ikkita qutb (ikkita birlik) chizilgan. Raqamning o'lchami uning belgilarining joylashish tartibiga bog'liq emas edi: ular yuqoridan pastgacha, o'ngdan chapga yoki navbat bilan yozilishi mumkin edi.
Rim sanoq tizimi... Hozirgi kungacha saqlanib qolgan pozitsion bo'lmagan tizimga misol, bundan ikki yarim ming yil oldin Qadimgi Rimda ishlatilgan raqamlar tizimi. Rim raqamlari tizimi 1 -raqam uchun I (bitta barmoq), 5 -raqam uchun V (ochiq kaft), 10 -raqam uchun X (ikkita katlanmış kaft) belgilariga asoslangan edi va tegishli lotin so'zlarining birinchi harflari yozila boshlandi. 100, 500 va 1000 raqamlarini belgilash uchun ishlatiladi (Sentum - yuz, Demimille - yarim ming, Mille - ming). Rimliklar bu raqamni yozish uchun uni minglab, yarim ming, yuzlab, ellik, o'nlab, poshnali, birliklar yig'indisiga ajratdilar. Masalan, 28 -kasr quyidagicha ifodalanadi:
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (ikki o'nlik, to'piq, uch birlik).
O'rta raqamlarni yozish uchun rimliklar nafaqat qo'shishni, balki ayirishni ham ishlatganlar. Bunda quyidagi qoida qo'llanildi: kattasining o'ng tomoniga qo'yilgan har bir kichik belgi uning qiymatiga qo'shiladi va kattasining chap tomoniga qo'yilgan har bir kichik belgi undan chiqariladi. Masalan, IX - 9, XI - 11 degan ma'noni anglatadi.
O'nli raqam 99 quyidagi ko'rinishga ega:
XCIX = –10 + 100–1 + 10.
Rim raqamlari uzoq vaqt ishlatilgan. Hatto 200 yil oldin, ish qog'ozlarida raqamlarni rim raqamlari bilan belgilash kerak edi (oddiy arab raqamlarini yasash oson deb ishonilgan). Rim raqamlari tizimi bugungi kunda asosan kitoblarning muhim sanalari, jildlari, bo'limlari va boblarini nomlash uchun ishlatiladi.
Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari... Pozitsion bo'lmagan sanoqli tizimlar alifbo tizimlari edi. Bu sanoq sistemalariga yunon, slavyan, finikiya va boshqalar kirgan. Ularda 1 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar, o'nlab (10 dan 90 gacha) va yuzliklarning butun sonlari (100 dan 900 gacha) alifbo harflari bilan belgilanadi. Alifbo tartibidagi raqamlar tizimi Qadimgi Yunoniston 1, 2, ..., 9 raqamlari yunon alifbosining birinchi to'qqiz harfi va boshqalar bilan belgilanadi. Quyidagi 9 ta harf 10, 20, ..., 90 raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan va oxirgi 9 ta harf 100, 200, ..., 900 raqamlarini belgilashda ishlatilgan.
Slavyan xalqlari orasida harflarning son qiymatlari slavyan alifbosi tartibida o'rnatildi, ularda avval fe'l, keyin kirill alifbosi ishlatilgan.
Rossiyada slavyan raqamlari 17 -asr oxirigacha saqlanib qolgan. Pyotr I davrida arabcha raqamlash hukmronlik qildi, biz uni hanuzgacha ishlatmoqdamiz. Slavyan raqamlash faqat liturgik kitoblarda saqlanib qolgan.
Pozitsion bo'lmagan raqamli tizimlar bir qator muhim kamchiliklarga ega:
- Ko'p sonli yozuvlarni yozish uchun yangi belgilar kiritishga doimiy ehtiyoj bor.
- Kesirli va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.
- Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari yo'q.
Pozitsion sanoq sistemalari
Pozitsion sanoq sistemalarida har bir raqamning miqdoriy ekvivalenti uning raqam kodidagi (yozuvidagi) pozitsiyasiga (pozitsiyasiga) bog'liq. Hozirgi kunda biz o'nlik pozitsion tizimdan foydalanishga o'rganib qolganmiz - raqamlar 10 ta raqam yordamida yozilgan. O'ngdagi raqam birliklarni, chapda - o'nlab, hatto chapda - yuzlab va boshqalarni bildiradi.
Masalan: 1) jinsiy aloqa (Qadimgi Bobil) - birinchi pozitsion sanoq tizimi. Hozirgacha vaqtni o'lchashda 60 ga teng tayanch ishlatiladi (1min = 60s, 1h = 60min); 2) o'n ikki sanoqli sanoq tizimi (19 - asrda 12 - "o'nlik" soni keng tarqaldi: bir kunda yigirma soat bor). Barmoqlar bilan emas, bo'g'imlarda sanash. Qo'lning har bir barmog'ida, bosh barmog'idan tashqari, 3 bo'g'im bor - jami 12 ta; 3) hozirgi vaqtda eng keng tarqalgan pozitsion sanoq tizimlari o'nlik, ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik (past darajali dasturlashda va umuman kompyuter hujjatlarida keng qo'llaniladi, chunki zamonaviy kompyuterlar Xotiraning minimal birligi-8 bitli bayt, uning qiymatlari ikki o'n oltilik raqam bilan qulay yozilgan).
Har qanday pozitsion tizimda raqam polinom sifatida ifodalanishi mumkin.
Keling, kasrli son qanday polinom sifatida ifodalanishini ko'rsatamiz:
Raqamli tizim turlari
Raqamli tizim haqida bilish kerak bo'lgan eng muhim narsa uning turi: qo'shimchalar yoki ko'paytmalar... Birinchi turda har bir raqam o'z ma'nosiga ega va raqamni o'qish uchun siz ishlatilgan raqamlarning barcha qiymatlarini qo'shishingiz kerak:
XXXV = 10 + 10 + 10 + 5 = 35; CCXIX = 100 + 100 + 10–1 + 10 = 219;
Ikkinchi turda, har bir raqam sonda joylashishiga qarab har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin:
(ierogliflar tartibda: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Bu erda "2" ieroglifi ikki marta ishlatiladi va har bir holatda u "2000" va "20" degan ma'noni anglatardi.
2'1000 + 4'100 + 2'10 + 5 = 2425
Qo'shimchali ("qo'shimcha") tizim uchun siz ularning ma'nosi ko'rsatilgan barcha raqam-belgilarni (4-5 ta o'ntagacha) va yozilish tartibini bilishingiz kerak. Masalan, lotin yozuvida, agar kattaroq raqamdan oldin kichikroq raqam yozilsa, ayirish amalga oshiriladi, keyin esa qo'shish (IV = (5-1) = 4; VI = (5 + 1) = 6) .
Multiplikativ tizim uchun siz raqamlar tasvirini va ularning ma'nosini, shuningdek, sanoq tizimining asosini bilishingiz kerak. Bazani aniqlash juda oson, siz tizimdagi muhim raqamlar sonini qayta hisoblashingiz kerak. Agar oddiyroq bo'lsa, bu raqamning ikkinchi raqami boshlanadigan raqam. Masalan, biz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlarini ishlatamiz. Ulardan 10 tasi bor, shuning uchun ham sanoq sistemamizning asosi 10 ga teng va sanoq sistemasi deyiladi. "O'nlik". Yuqoridagi misolda 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari ishlatilgan (yordamchi 10, 100, 1000, 10000 va boshqalar hisoblanmaydi). Bu erda 10 ta asosiy raqam ham bor va sanoq tizimi o'nlik sanoqli.
Siz taxmin qilganingizdek, qancha sonlar bor, sanoq sistemalarining asoslari ham shuncha bo'lishi mumkin. Lekin faqat eng qulay raqamli asoslar ishlatiladi. Nima deb o'ylaysiz, nima uchun eng keng tarqalgan inson sanoq tizimining asosi 10? Ha, aniqki, chunki qo'limizda 10 barmoq bor. "Ammo bir qo'lda atigi beshta barmoq bor", deyishadi ba'zilari va ular to'g'ri. Insoniyat tarixi besh qavatli sanoq sistemalariga misollar biladi. "Va oyoqlari bilan - yigirma barmoq" - deyishadi boshqalar, va ular ham mutlaqo to'g'ri bo'ladi. Mayya hindulari shunday fikrda edilar. Buni hatto ularning sonidan ham bilish mumkin.
"O'nlik" tushunchasi juda qiziq. Hamma biladi, bu 12, lekin bu raqam qaerdan kelgan - kam odam biladi. Qo'llaringizga qarang, aniqrog'i, bir tomondan. Bosh barmog'ini hisobga olmaganda, bir qo'lning barcha barmoqlarida nechta falanj bor? To'g'ri, o'n ikki. Bosh barmog'i hisoblangan falanjlarni belgilash uchun mo'ljallangan.
Agar boshqa tomondan, biz barmoqlarimiz bilan o'nlab kishilar sonini kechiktirsak, biz oltmishinchi yillardagi mashhur Bobil tizimini olamiz.
Turli tsivilizatsiyalarda ular har xil yo'llar bilan hisob -kitob qilishgan, lekin hozir ham bu tilda, raqamlarning nomlari va tasvirlarida ham, bu xalq bir paytlar ishlatgan, butunlay boshqa sanoq sistemalarining qoldiqlarini topish mumkin.
Shunday qilib, frantsuzlar yigirma raqamli tizimga ega edilar, chunki frantsuz tilida 80 "yigirma to'rt marta" kabi eshitiladi.
Bir paytlar rimliklar yoki ularning o'tmishdoshlari besh bosqichli tizimdan foydalanishgan, chunki V - bosh barmog'i cho'zilgan kaftning tasviridan boshqa narsa emas, X - xuddi shu qo'llarning ikkitasi.
Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalari
Odamlar sanashni ancha oldin o'rgangan. Keyinchalik raqamlarni yozib olish zarurati tug'ildi. Ob'ektlar sonini bir nechta qattiq chiziqlarga chiziqlar, seriflar chizish orqali ko'rsatish mumkin edi, shuning uchun ikki kishi ba'zi bir ma'lumotni aniq saqlashlari uchun yog'ochdan yasalgan tegni oldilar, kerakli miqdordagi chuqurchalarni yasadilar va keyin yorliqni ikkiga bo'lishdi. Har kim o'z yarmini olib qo'ydi. Bu usul ziddiyatli vaziyatlardan qochishga imkon berdi. Arxeologlar qazishmalar paytida bunday yozuvlarni topdilar. Ular miloddan avvalgi 10-11-ming yilliklarga to'g'ri keladi.
Olimlar bu raqamlarni qayd etish tizimini nomlashdi yagona (yagona), chunki undagi har qanday raqam bitta ramziy belgini takrorlash orqali hosil bo'ladi.
Keyinchalik bu nishonlar 3, 5 va 10 ta tayoqchalardan iborat guruhlarga birlashtirila boshladi. Shuning uchun, ko'proq qulay tizimlar hisob -kitob qilish.
Taxminan miloddan avvalgi III ming yillikda misrliklar o'zlarining raqamli tizimini ixtiro qilganlar, unda maxsus belgilar yordamida asosiy raqamlar - ierogliflar ko'rsatilgan. Har bir bunday ieroglif 9 martadan ko'p bo'lmagan takrorlanishi mumkin, bu sanoq sistemasi deyiladi qadimgi Misr o'nlik pozitsion bo'lmagan sanoq tizimi
Hozirgi kungacha saqlanib qolgan pozitsion bo'lmagan sanoq sistemasiga misol, bundan ikki yarim ming yil oldin Qadimgi Rimda ishlatilgan sanoq sistemasi. U deyiladirim raqamlari tizimi.
U I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000) belgilariga asoslangan.
Rim raqamlari juda uzoq vaqt ishlatilgan, bugungi kunda ular asosan kitoblarda muhim sanalar, jildlar, bo'limlar va boblarni nomlash uchun ishlatiladi.
Rimliklar raqamni yozish uchun nafaqat qo'shishni, balki ayirishni ham ishlatgan.
Rim sanoq sistemasida raqamlarni tuzish qoidalari:
- Ketma -ket bir xil raqamlar qo'shiladi (birinchi turdagi guruh).
- Agar kattaroq raqamning chap tomonida kichikroq bo'lsa, kichik raqamning qiymati kattaroq (ikkinchi turdagi guruh) qiymatidan chiqariladi.
- Birinchi va ikkinchi turdagi guruhlarga kiritilmagan guruhlar va raqamlarning qiymatlari qo'shiladi.
Qadim zamonlarda Rossiyada Rimni eslatuvchi sanoq tizimlari keng qo'llanilgan. Ularni chaqirishdi jasper... Ularning yordami bilan soliq yig'uvchilar soliq to'lash uchun kvitansiyalarni to'ldirishdi (yasak) va soliq daftarchasiga yozuvlar qo'yishdi.
"Rossiya soliqlar kitobi"
Pozitsion bo'lmagan raqamli tizimlar bir qator muhim kamchiliklarga ega:
- Ko'p sonli yozuvlarni yozish uchun yangi belgilar kiritishga doimiy ehtiyoj bor.
- Kesirli va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.
- Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari yo'q. Xususan, barcha xalqlar sanoq tizimlari bilan bir qatorda, barmoqlarni sanash usullariga ega edi, yunonlarda esa abakus hisoblash taxtasi bor edi - bu bizning hisobimizga o'xshaydi.
Ammo biz hanuzgacha kundalik nutqda pozitsion bo'lmagan sanoq tizimining elementlaridan foydalanamiz, xususan, biz o'n emas, o'n, ming, million, milliard, trillion deymiz.
Birlik sanoq tizimi
Raqamlarni yozish zarurati qadim zamonlarda odamlar sanashni o'rgangandan keyin paydo bo'la boshladi. Bu paleolit davriga (miloddan avvalgi 10 - 11 ming dollar) to'g'ri keladigan ibtidoiy odamlarning lagerlaridagi arxeologik topilmalar guvohlik beradi. Dastlab, ob'ektlar soni ma'lum belgilar yordamida tasvirlangan: chiziqlar, chiziqlar, toshlarga, yog'och yoki loyga qo'llaniladigan doiralar, shuningdek arqondagi tugunlar.
1 -rasm.
Olimlar bu raqamli tizim deb atashadi yagona (yagona), chunki undagi raqam bitta belgining takrorlanishidan hosil bo'ladi, bu bitta belgini anglatadi.
Tizimning kamchiliklari:
yozganda katta raqam foydalanish shart emas ko'p miqdorda tayoqchalar;
tayoqlarni qo'llashda xato qilish oson bo'lishi mumkin.
Keyinchalik, sanashni osonlashtirish uchun odamlar bu belgilarni birlashtira boshladilar.
Misol 1
Birlik sanoq sistemasidan foydalanish misollarini hayotimizda topish mumkin. Masalan, yosh bolalar barmoqlarida yoshini tasvirlashga harakat qilishadi yoki sanoq tayoqchalari yordamida birinchi sinfda sanashni o'rgatishadi.
Birlik tizimi bu juda qulay emas, chunki yozuvlar juda uzun ko'rinadi va ularni qo'llash juda zerikarli, shuning uchun vaqt o'tishi bilan yanada amaliy sanoq tizimlari paydo bo'la boshladi.
Bu erda ba'zi misollar.
Qadimgi Misr o'nlik pozitsion bo'lmagan sanoq tizimi
Bu tizim Hisob -kitob miloddan avvalgi 3000 -yillarda paydo bo'lgan. natijada, Qadimgi Misr aholisi o'z raqamli tizimini ishlab chiqishgan, unda asosiy raqamlarni belgilashda $ 1 $, $ 10 $, $ 100 $ va h.k. ierogliflar ishlatilgan, bu qog'oz o'rnini bosuvchi loydan yasalgan planshetlarga yozishda qulay bo'lgan. Boshqa raqamlar qo'shish yo'li bilan ulardan tuzilgan. Birinchidan, eng yuqori buyurtmaning soni, so'ngra eng pasti qayd etildi. Misrliklar ko'payib, bo'linib, ketma -ket ikki barobar ko'payishdi. Har bir raqam 9 dollargacha takrorlanishi mumkin. Bu tizimdagi raqamlarga misollar quyida keltirilgan.
2 -rasm.
Rim sanoq tizimi
Bu tizim avvalgisidan tubdan farq qilmaydi va shu kungacha saqlanib qolgan. U belgilarga asoslanadi:
$ I $ raqami uchun $ I $ (bitta barmoq);
$ 5 $ raqami uchun $ V $ (ochiq kaft);
$ X $ (ikki kaft buklangan) 10 $ uchun;
$ 100 $, $ 500 $ va $ 1000 $ raqamlarini belgilash uchun tegishli lotin so'zlarining birinchi harflari ishlatilgan ( Sentum- yuz, Demimil- yarim ming, Mille- ming).
Rimliklar raqamlarni tuzishda quyidagi qoidalarni qo'llagan:
Raqam, birinchi turdagi guruhni tashkil etuvchi, ketma -ket joylashgan bir xil bir xil "raqamlar" qiymatlari yig'indisiga teng.
Bu raqam ikkita "raqam" ning qiymatlari orasidagi farqga teng, agar kattasining chap tomonida kichik bo'lsa. Bunday holda, katta qiymatdan kichikroq qiymat chiqariladi. Ular birgalikda ikkinchi turdagi guruhni tashkil qiladi. Bu holda, chap "raqam" o'ngdan kichik bo'lishi mumkin, maksimal $ 1 $ buyurtmasi bo'yicha: "kichik" lardan $ L (50) $ va $ C (100 $) gacha faqat $ bo'lishi mumkin. X (10 $), oldin $ D (500 $) va $ M (1000 $) - faqat $ C (100 $), oldin $ V (5) - I (1) $.
Bu raqam $ 1 $ yoki $ 2 $ turidagi guruhlarga kiritilmagan guruhlar va "raqamlar" qiymatlarining yig'indisiga teng.
3 -rasm.
Rim raqamlari qadim zamonlardan beri ishlatilgan: ular sanalarni, jildlar sonlarini, bo'limlar, boblarni ko'rsatadi. Men oddiy arab raqamlarini osonlikcha soxtalashtirish mumkin deb o'ylardim.
Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari
Bu raqam tizimlari yanada mukammaldir. Bularga yunon, slavyan, finikiya, yahudiy va boshqalar kiradi. Bu tizimlarda 1 dollardan 9 dollargacha bo'lgan raqamlar, shuningdek o'nlab (10 dollardan 90 dollargacha), yuzlab (100 dollardan 900 dollargacha) alifbo harflari bilan belgilanadi.
Qadimgi yunon alifbo tizimida $ 1, 2, ..., $ 9 raqamlari yunon alifbosining birinchi to'qqiz harfi va boshqalar bilan ko'rsatilgan. Quyidagi $ 9 $ harflari $ 10, 20, ..., $ 90 raqamlarini ko'rsatish uchun ishlatilgan va oxirgi $ 9 $ harflari $ 100, 200, ..., 900 $ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan.
Slavyan xalqlari orasida harflarning raqamli qiymatlari slavyan alifbosining tartibiga muvofiq o'rnatildi, ular dastlab fe'lni, so'ngra kirill alifbosini ishlatgan.
4 -rasm.
Izoh 1
Alifbo tizimi qadimgi Rossiyada ham ishlatilgan. 17 -asrning oxirigacha raqam sifatida 27 dollarlik kirill harflari ishlatilgan.
Pozitsion bo'lmagan raqamli tizimlar bir qator muhim kamchiliklarga ega:
Ko'p sonli yozuvlarni yozish uchun yangi belgilar kiritishga doimiy ehtiyoj bor.
Kesirli va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.
Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari yo'q.
nazorat ishi
Pozitsion va pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalari
Bizning davrimizda ilgari mavjud bo'lgan va ishlatiladigan turli xil sanoq sistemalarini pozitsion bo'lmagan va pozitsionlarga bo'lish mumkin. Raqamlarni yozishda ishlatiladigan belgilarga raqamlar deyiladi.
Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalarida u ko'rsatadigan qiymat raqamlar yozuvidagi raqamning holatiga bog'liq emas. Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemasiga misol sifatida lotin harflarini raqam sifatida ishlatadigan Rim tizimini keltirish mumkin.
Pozitsion raqamlash tizimlarida raqamlar belgisida raqam bilan belgilanadigan qiymat uning pozitsiyasiga bog'liq. Amaldagi raqamlar soni sanoq tizimining bazasi deb ataladi. Raqamdagi har bir raqamning o'rni pozitsiya deb ataladi. Bizga pozitsion tamoyilga asoslangan birinchi tizim - bu olti o'lchovli Bobil. Undagi raqamlar ikki xil edi, ulardan biri birliklarni, ikkinchisi - o'nlab.
Hozirgi vaqtda pozitsion sanoq tizimlari pozitsion bo'lmaganlarga qaraganda ancha keng tarqalgan. Buning sababi shundaki, ular sizga nisbatan kam sonli belgilar bilan katta sonlarni yozishga imkon beradi. Joylashtirish tizimlarining yanada muhim afzalligi - soddaligi va amalga oshirish qulayligi. arifmetik amallar bu tizimlarda yozilgan raqamlar ustida.
Eng ko'p ishlatiladigan hind-arab o'nlik tizimi edi. Hindlar birinchi qatorda raqamlar qatoridagi qiymatning pozitsion ahamiyatini ko'rsatish uchun nolni ishlatishgan. Bu tizim o'nlikdan iborat, chunki u o'nta raqamdan iborat.
Pozitsion va pozitsion bo'lmagan sanoq sistemalari orasidagi farqni ikkita raqamni solishtirish orqali tushunish oson. Pozitsion sanoq sistemasida ikkita raqamni taqqoslash quyidagicha: ko'rib chiqilayotgan raqamlarda, chapdan o'ngga, bir xil pozitsiyalardagi raqamlar solishtiriladi. Katta raqam raqamning kattaroq qiymatiga to'g'ri keladi. Masalan, 123 va 234 raqamlari uchun 1 2 dan kichik, shuning uchun 234 raqami 123 raqamidan katta. Pozitsion bo'lmagan sanoq sistemasida bu qoida qo'llanilmaydi. Bunga ikkita IX va VI raqamlarni solishtirish misol bo'la oladi. Men V dan kichik bo'lsam ham, IX VI dan katta.
Raqam yoziladigan asos odatda pastki indeks bilan ko'rsatiladi. Masalan, 555 7 - bu kasrli son. Agar raqam o'nlik tizimda yozilgan bo'lsa, unda baza, qoida tariqasida, ko'rsatilmagan. Tizimning asosi ham raqam bo'lib, u odatdagi o'nlik tizimda ko'rsatilgan. Pozitsion tizimdagi har qanday butun son polinom shaklida yozilishi mumkin:
X s = (A n A n-1 A n-2 ... A 2 A 1) s = A n S n-1 + A n-1 S n-2 + A n-2 S n- 3 +. .. + A 2 S 1 + A 1 S 0
bu erda S - sanoq sistemasining asosi, va n - bu sanoq sistemasida yozilgan raqamlarning raqamlari, n - sonning raqamlari soni.
Masalan, 6293 10 raqami polinom shaklida quyidagicha yoziladi:
6293 10 = 6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0
Pozitsion sanoq sistemalariga misollar:
· Ikkilik (yoki 2 -tayanch) - bu ikkita belgidan foydalanib, turli xil sonli qiymatlarni ifodalashga imkon beruvchi pozitiv butun pozitsion (mahalliy) sanoq sistemasi. Ko'pincha bu 0 va 1.
· Sakkizlik - 8 -tayanchli pozitsion tamsayı sanoq tizimi, u raqamlarni ifodalash uchun 0 dan 7 gacha raqamlarni ishlatadi, sakkizlik sistemasi ko'pincha raqamli qurilmalar bilan bog'liq sohalarda ishlatiladi. Ilgari u dasturlash va kompyuter hujjatlarida keng qo'llanilgan bo'lsa, endi u deyarli to'liq o'n oltilikka almashtirildi.
· O'nlik sanoq tizimi - butun sonli bazaga asoslangan pozitsion sanoq tizimi 10. Dunyoda eng keng tarqalgan sanoq sistemasi. Raqamlarni yozish uchun eng ko'p ishlatiladigan harflar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bo'lib, arab raqamlari deb ataladi.
· O'nlik sanoqli (antik davrda keng qo'llanilgan, ayrim xususiy sohalarda hali ham ishlatilgan) - butun sonli asosli pozitsion sanoq tizimi 12. Raqamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Nigeriya va Tibetning ba'zi xalqlari hanuzgacha o'n ikki sanoqli sanoq sistemasidan foydalanadilar, lekin uning aks -sadolarini deyarli har bir madaniyatda uchratish mumkin. Rus tilida "o'nlab" so'zi bor, ingliz tilida "o'nlab", ba'zi joylarda "o'n" o'rniga o'n ikki so'zi ishlatiladi, yumaloq raqam sifatida, masalan, 12 daqiqa kuting.
· O'n oltilik (dasturlashda ham, shriftlarda ham eng ko'p uchraydi) - 16 tamsayı bazasiga asoslangan pozitsion raqamlar tizimi. Odatda, 10dan o'ngacha raqamlarni ko'rsatish uchun o'ndan o'ngacha raqamlar va A dan F gacha lotin harflari ishlatiladi. to 15. U past darajali dasturlashda va umuman kompyuter hujjatlarida keng qo'llaniladi, chunki zamonaviy kompyuterlarda xotiraning minimal birligi 8 bitli bayt bo'lib, uning qiymatlari ikki o'n oltilik raqam bilan qulay tarzda yoziladi.
· Olti burchakli (burchaklarni va ayniqsa uzunlik va kenglikni o'lchash) - butun sonli bazaga asoslangan pozitsion raqamlar tizimi 60. Qadimgi davrlarda Yaqin Sharqda ishlatilgan. Bu sanoq sistemasining natijasi burchak va yoy gradusining (shuningdek soatning) 60 daqiqaga va daqiqalarning 60 soniyaga bo'linishidir.
Kompyuterda ishlashda 2, 8 va 16 bazali sanoq tizimlari katta qiziqish uyg'otadi, bu sanoq sistemalari odatda odamning ham, kompyuterning ham to'la-to'kis ishlashi uchun etarli bo'ladi, lekin ba'zida har xil sharoitlar tufayli sizda boshqa sanoq tizimlariga, masalan, uchlik, septenariya yoki 32 -bazaga o'tish.
Bunday noan'anaviy tizimlarda yozilgan raqamlar bilan ishlash uchun shuni yodda tutish kerakki, ular odatdagi o'nlik kasrdan farq qilmaydi. Ularni qo'shish, ayirish, ko'paytirish xuddi shu sxema bo'yicha amalga oshiriladi.
Boshqa raqamli tizimlar asosan ishlatilmadi, chunki Kundalik hayot odamlar o'nlik sanoq sistemasidan foydalanishga o'rganib qolganlar va boshqa talab qilinmaydi. Hisoblash mashinalari ikkilik sanoq tizimidan foydalanadi, chunki ikkilik shaklda yozilgan raqamlar bilan ishlash juda oddiy.
Ko'pincha informatika fanida o'n oltilik tizim ishlatiladi, chunki undagi sonlarning tasviri ikkilik tizimdagi sonlarning tasviridan ancha qisqa. Savol tug'ilishi mumkin: nega juda katta sonlarni yozish uchun sanoq sistemasidan foydalanmasligingiz kerak, masalan, 50 -tayanchda? Bunday sanoq sistemasi uchun 10 dan 49 gacha bo'lgan raqamlarga mos keladigan 10 ta oddiy plyus va 40 ta raqam kerak bo'ladi va bu qirq raqam bilan ishlashni hech kim yoqtirmaydi. Shuning uchun, ichida haqiqiy hayot bazasi 16 dan katta bo'lgan sanoq tizimlari amalda qo'llanilmaydi.
Fraktallarga kirish
Muammolarda logarifmik funktsiya
Misol 43. Tenglamalar tizimini yeching Yechish Logarifm ta'rifini qo'llagan holda va logarifm belgisi ostidagi ifoda qat'iy ijobiy bo'lishi kerakligini hisobga olib, tizimning ikkinchi tenglamasini o'zgartiraylik: Javob :. Misol 44 ...
Pozitsion o'yinlar
Pozitsion o'yinlar
Zamonaviy o'qitish vositalaridan foydalangan holda "Raqamlash" mavzusida matematika darslarini loyihalash
Pozitsion sanoq tizimi birinchi marta qadimgi Bobilda paydo bo'lgan. Hindistonda bu tizim nol yordamida pozitsion kasrli raqamlash shaklida ishlaydi, arab millati bu sanoq sistemasini hindulardan, o'z navbatida, qarz oldi ...
Raqamli tizim - bu raqamlarni yozish (ko'rsatish) usuli. Ilgari mavjud bo'lgan va hozirgi kunda ishlatiladigan turli xil sanoq sistemalari ikki guruhga bo'linadi: pozitsion, pozitsion bo'lmagan ...
Belgi. Raqamlar bo'yicha harakatlarni yozib olish
Bizning davrimizda ilgari mavjud bo'lgan va ishlatiladigan turli xil sanoq sistemalarini pozitsion bo'lmagan va pozitsionlarga bo'lish mumkin. Raqamlarni yozishda ishlatiladigan belgilarga raqamlar deyiladi ...
Belgi. Raqamlar bo'yicha harakatlarni yozib olish
Ikkilik sanoq tizimini matematiklar va faylasuflar kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin (XVII - XIX asrlar) ixtiro qilgan. Ikkilik tizimning ba'zi g'oyalari qadimgi Xitoyda ma'lum bo'lgan ...
Belgi. Raqamlar bo'yicha harakatlarni yozib olish
Eng keng tarqalgan sanoq sistemalari - ikkilik, o'n oltilik, o'nlik va sakkizlik ...
1.1 Har xil sanoq sistemalarining paydo bo'lish tarixi Ibtidoiy odamni sanash qiyin edi. "Bir", "ikkita" va "ko'p" - bu uning raqamlari. Ammo biz - zamonaviy odamlar har qadamda raqamlar bilan shug'ullanishimiz kerak ...
Sanoq tizimlari va asosiy ikkilik kodlashlar
Eng qadimgi raqamlashda faqat "|" birlik uchun va har bir natural son birlik raqamini bu sonda qancha birlik bo'lsa, shuncha marta takrorlash orqali yozilgan ...
Sanoq tizimlari va asosiy ikkilik kodlashlar
O'nli sanoq tizimidan tashqari, boshqa har qanday tabiiy bazaga ega bo'lgan pozitsion sanoq sistemalari ham mumkin. Turli tarixiy davrlarda ko'plab xalqlar turli xil raqamli tizimlardan keng foydalanishgan ...
Sanoq tizimlari va asosiy ikkilik kodlashlar
1.5.1 Qo'shish va ayirish z bazisli tizimda 0, 1, 2, ..., s - 1 raqamlari nol va birinchi c -1 natural sonlarni ifodalash uchun ishlatiladi.Qo'shish va ayirish amalini bajarish uchun, bir xonali qo'shimchalar jadvali tuziladi. ...
Sanoq tizimlari va asosiy ikkilik kodlashlar
Bizga juda tanish bo'lgan o'nlik tizim kompyuter uchun noqulay bo'lib chiqdi. Agar o'nlik tizimdan foydalanadigan mexanik hisoblash qurilmalarida ko'p holatli elementni (to'qqiz tishli g'ildirak) qo'llash kifoya ...
Fraktallar - matematikaning yangi bo'limi
O'ziga o'xshash fraktallar bilan chambarchas bog'liq L-tizimlar kontseptsiyasi faqat 1968 yilda Aristrid Lindenmayer tufayli paydo bo'lgan. Dastlab, L-tizimlar rasmiy tillarni o'rganishda joriy qilingan ...
Kodlashni o'rganib, men sanoq sistemalarini etarli darajada tushunmasligimni tushundim. Shunga qaramay, u tez-tez bir-biriga tarjima qilingan 2-, 8-, 10-, 16-tizimlardan foydalangan, lekin hamma narsa "avtomatik tarzda" bajarilgan. Ko'p nashrlarni o'qib chiqqach, men yozilmagan bitta nusxaning yo'qligiga hayron bo'ldim oddiy til, ana shunday asosiy materiallar bo'yicha maqolalar. Shuning uchun men o'zim yozishga qaror qildim, unda sanoq sistemalari asoslarini tushunarli va tartibli tarzda tushuntirishga harakat qildim.
Kirish
Belgi raqamlarni yozish (ifodalash) usulidir.Nima degani bu? Masalan, oldingizda bir nechta daraxtlarni ko'rasiz. Sizning vazifangiz - ularni sanash. Buning uchun siz - barmoqlaringizni bukib, toshga (bir daraxtga - bitta barmog'ingiz bilan) chuqurchalar yasashingiz yoki 10 ta daraxtga mos keladigan narsa, masalan, tosh va bitta nusxa - tayoq qo'yib qo'yishingiz mumkin. siz hisoblaganingizda er. Birinchi holda, raqam egilgan barmoqlar yoki chiziqlar bilan ifodalanadi, ikkinchisida - toshlar va tayoqlar tarkibi, bu erda toshlar chapda, o'ngda esa tayoqlar.
Sanoq sistemalari pozitsion va pozitsion bo'lmagan, pozitsion esa o'z navbatida bir hil va aralash tizimlarga bo'linadi.
Pozitsiyasiz- eng qadimiy, unda raqamning har bir raqami o'z mavqeiga (darajasiga) bog'liq bo'lmagan qiymatga ega. Ya'ni, agar sizda 5 ta chiziq bo'lsa, bu raqam ham 5, chunki har bir chiziq chiziqdagi joyidan qat'i nazar, faqat bitta bitta ob'ektga to'g'ri keladi.
Pozitsion tizim- har bir raqamning ma'nosi uning sondagi o'rniga (raqamiga) bog'liq. Masalan, bizga tanish bo'lgan 10 -raqamli tizim pozitsion hisoblanadi. 453 raqamini ko'rib chiqing. 4 raqami yuzlar sonini bildiradi va 400, 5 raqamlariga mos keladi - o'nliklarning soni va 50 qiymatiga o'xshash, va 3 - birliklar va 3 qiymatiga o'xshaydi. Ko'rib turganingizdek, kattaroq raqam, qiymat qanchalik baland bo'lsa. Yakuniy son 400 + 50 + 3 = 453 yig'indisida ifodalanishi mumkin.
Bir hil tizim- raqamning barcha raqamlari (pozitsiyalari) uchun ruxsat berilgan belgilar (raqamlar) to'plami bir xil bo'ladi. Misol tariqasida, yuqorida aytib o'tilgan 10 -tizimni olaylik. Bir hil 10 -tizimda raqamni yozishda siz har bir raqamda 0 dan 9 gacha bo'lgan bitta raqamni ishlatishingiz mumkin, shuning uchun 450 raqamiga ruxsat beriladi (1 -raqam - 0, 2 - 5, 3 - 4), va 4F5 - emas, chunki F belgisi 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlarning bir qismi emas.
Aralash tizim- raqamning har bir raqamida (pozitsiyasida) haqiqiy belgilar (raqamlar) to'plami boshqa raqamlar to'plamidan farq qilishi mumkin. Bunga yorqin misol - vaqtni o'lchash tizimi. Soniya va daqiqa toifasida 60 xil belgi ("00" dan "59" gacha), soat toifasida - 24 xil belgi ("00" dan "23" gacha), kunlar toifasida - mumkin. 365 va boshqalar.
Pozitsion bo'lmagan tizimlar
Odamlar sanashni o'rganishi bilanoq, raqamlarni yozishga ehtiyoj paydo bo'ldi. Avvaliga hamma narsa oddiy edi - biron bir sirtdagi chiziq yoki chiziq bitta ob'ektga to'g'ri keldi, masalan, bitta meva. Birinchi sanoq sistemasi shunday paydo bo'ldi - birlik birligi.Birlik sanoq tizimi
Bu sanoq sistemasidagi raqam - bu berilgan sonning qiymatiga teng bo'lgan chiziqlar (tayoqlar). Shunday qilib, 100 ta xurmo yig'im -terimi 100 ta chiziqdan iborat bo'lgan raqamga teng bo'ladi.Ammo bu tizimning aniq kamchiliklari bor - ularning soni qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha ko'p uzunroq chiziq tayoqlardan. Bunga qo'shimcha ravishda, tasodifan qo'shimcha tayoq qo'shib yoki aksincha, qo'shmasdan, raqamni yozishda osongina xato qilish mumkin.
Odamlar qulaylik uchun tayoqlarni 3, 5, 10 bo'laklarga guruhlay boshladilar. Shu bilan birga, har bir guruhga ma'lum belgi yoki ob'ekt mos keladi. Dastlab barmoqlar sanash uchun ishlatilgan, shuning uchun birinchi belgilar 5 va 10 dona (birlik) guruhlari uchun paydo bo'lgan. Bularning barchasi raqamlarni yozish uchun yanada qulay tizimlar yaratishga imkon berdi.
Qadimgi Misr o'nlik tizimi
Qadimgi Misrda 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 raqamlarini ko'rsatish uchun maxsus belgilar (raqamlar) ishlatilgan. Mana ulardan ba'zilari:Nima uchun u kasr deb nomlangan? Yuqorida aytib o'tilganidek, odamlar belgilarni guruhlay boshladilar. Misrda ular "1" raqamini o'zgarishsiz qoldirib, 10 kishilik guruhni tanladilar. V bu ish, 10 raqami o'nli sanoq sistemasining asosi deb ataladi va har bir belgi qaysidir ma'noda 10 sonining ifodasidir.
Qadimgi Misr sanoq sistemasidagi raqamlar ularning kombinatsiyasi sifatida yozilgan
belgilar, ularning har biri to'qqiz martadan ko'p takrorlanmaydi. Umumiy qiymat raqam elementlarining yig'indisiga teng edi. Ta'kidlash joizki, qiymat olishning bu usuli har bir pozitsion bo'lmagan sanoq sistemasiga xosdir. Masalan, 345 raqami:
Bobil jinsiy aloqa tizimi
Misrliklardan farqli o'laroq, Bobil tizimida atigi 2 ta belgi ishlatilgan: "tekis" takoz - birliklarni belgilash va "o'tirgan" - o'nlab. Raqamning qiymatini aniqlash uchun raqam tasvirini o'ngdan chapga raqamlarga bo'lish kerak. Yangi tushirish, yotgan joydan keyin to'g'ri xanjar paydo bo'lishi bilan boshlanadi. Misol sifatida 32 raqamini olaylik:
60 raqami va uning barcha darajalari tekis chiziq bilan "1" bilan belgilanadi. Shuning uchun, Bobil sanoq sistemasi olti olti sonli deb nomlangan.
Bobilliklar 1 dan 59 gacha bo'lgan barcha raqamlarni pozitsion bo'lmagan kasrli tizimda, katta qiymatlarni esa 60 asosli pozitsiyali raqamlarda qayd etishdi. 92 raqami:
Raqamni yozish noaniq edi, chunki nolni bildiruvchi raqam yo'q edi. 92 raqamining tasviri nafaqat 92 = 60 + 32, balki, masalan, 3632 = 3600 + 32 ni ham anglatishi mumkin. Raqamning mutlaq qiymatini aniqlash uchun maxsus belgi O'nli kasrdagi 0 raqamining paydo bo'lishiga mos keladigan kam sonli jinsiy raqamni ko'rsatish uchun:
Endi 3632 raqami quyidagicha yozilishi kerak:
Bobil jinsiy aloqa tizimi qisman pozitsion printsipga asoslangan birinchi raqamli tizimdir. Bu raqamlash tizimi bugungi kunda ham qo'llaniladi, masalan, vaqtni aniqlashda - bir soat 60 daqiqadan, bir daqiqa esa 60 soniyadan iborat.
Rim tizimi
Rim tizimi Misrnikidan unchalik farq qilmaydi. U 1, 5, 10, 50, 100, 500 va 1000 raqamlarini ko'rsatish uchun I, V, X, L, C, D va M bosh harflaridan foydalanadi. Rim sanoq sistemasidagi raqam ketma -ket raqamlar to'plamidir.Raqamning qiymatini aniqlash usullari:
- Raqamning qiymati uning raqamlari yig'indisiga teng. Masalan, Rim sanoq sistemasidagi 32 raqami XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
- Agar katta raqamning chap tomonida kichikroq bo'lsa, bu qiymat katta va kichik raqamlar orasidagi farqga teng bo'ladi. Shu bilan birga, chap raqam o'ng kattalikdan ko'pi bilan bir martalik tartibda bo'lishi mumkin: shuning uchun "past" lardan L (50) va C (100) gacha faqat X (10) tura oladi, oldin D (500) va M (1000) - faqat C (100), V (5) dan oldin - faqat I (1); ko'rib chiqilgan sanoq tizimidagi 444 raqami CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444 deb yoziladi.
- Qiymat 1 va 2 punktga to'g'ri kelmaydigan guruhlar va sonlarning qiymatlari yig'indisiga teng.
1) slavyan
2) yunon (Ion)
Pozitsion sanoq sistemalari
Yuqorida aytib o'tganimizdek, pozitsion tizim paydo bo'lishining dastlabki shartlari qadimgi Bobilda paydo bo'lgan. Hindistonda bu tizim nol yordamida pozitsion kasrli raqamlash shaklini oldi va hindulardan bu raqamlar tizimini arablar qarz oldi, undan evropaliklar qabul qilishdi. Negadir Evropada "arab" nomi bu tizimga yopishib qolgan.O'nli sanoq tizimi
Bu eng keng tarqalgan sanoq sistemalaridan biridir. Biz mahsulot narxini nomlaganimizda va avtobus raqamini talaffuz qilganimizda shundan foydalanamiz. Har bir raqamda (pozitsiyada) 0 dan 9 gacha bo'lgan diapazonda faqat bitta raqam ishlatilishi mumkin.Tizim bazasi 10 raqami.Masalan, 503 raqamini olaylik. Agar bu raqam pozitsion bo'lmagan tizimda yozilgan bo'lsa, unda uning qiymati 5 + 0 + 3 = 8. bo'lar edi. Lekin bizda pozitsion tizim bor va shuning uchun sonning har bir raqamini ko'paytirish kerak. tizimning asosi, bu holda "10" raqami raqam soniga teng kuchga ko'tariladi. Ma'lum bo'lishicha, qiymat 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. Bir vaqtning o'zida bir nechta sanoq tizimlari bilan ishlashda chalkashliklarni oldini olish uchun baza pastki indeks. Shunday qilib, 503 = 503 10.
O'nli kasr tizimidan tashqari, 2-, 8-, 16-tizimlar alohida e'tiborga loyiqdir.
Ikkilik sanoq tizimi
Bu tizim asosan hisoblashda ishlatiladi. Nega ular biz o'rgangan 10 -chini ishlatmadilar? Birinchi hisoblash mashinasi o'nli kasr tizimidan foydalangan Blez Paskal tomonidan yaratilgan, bu zamonaviy elektron mashinalarda noqulay bo'lib chiqdi, chunki u 10 ta shtatda ishlashga qodir qurilmalarni ishlab chiqarishni talab qildi, bu esa ularning narxini va yakuniy narxini oshirdi. mashinaning o'lchami. 2 -tizimda ishlaydigan elementlar bu kamchiliklardan xoli. Shunga qaramay, bu tizim kompyuterlar ixtiro qilinishidan ancha oldin yaratilgan va Inka tsivilizatsiyasiga asoslangan bo'lib, u erda kipu - murakkab arqon to'quv va tugunlari ishlatilgan.Ikkilik pozitsion sanoq tizimi 2 -tayanchga ega va raqamni yozish uchun 2 ta belgidan (raqamlardan) foydalanadi: 0 va 1. Har bir raqamda faqat bitta raqamga ruxsat beriladi - 0 yoki 1.
Bunga 101 raqami misol bo'la oladi. Bu o'nlik belgilar tizimidagi 5 raqamiga o'xshaydi. 2 -dan 10 -gacha aylantirish uchun, ikkilik raqamning har bir raqamini "2" asosiga, raqamga teng kuchga ko'paytirish kerak. Shunday qilib, raqam 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.
Xo'sh, mashinalar uchun 2 -raqamli tizim qulayroq, lekin biz tez -tez 10 -tizimdagi kompyuter raqamlaridan foydalanamiz. Xo'sh, mashina foydalanuvchining qaysi raqamga kirishini aniqlaydi? Qanday qilib u raqamni bir tizimdan boshqasiga tarjima qiladi, chunki uning ixtiyorida atigi 2 ta belgi bor - 0 va 1?
Kompyuter ikkilik raqamlar (kodlar) bilan ishlashi uchun ularni biror joyda saqlash kerak. Har bir alohida raqamni saqlash uchun tetik ishlatiladi, ya'ni elektron sxemasi... U 2 ta holatda bo'lishi mumkin, ulardan biri nolga, ikkinchisiga to'g'ri keladi. Alohida raqamni yodlash uchun registr ishlatiladi - ularning soni ikkilik sonlar soniga mos keladigan tetiklar guruhi. Va registrlar to'plami Operativ xotira... Ro'yxatdan o'tish kitobidagi raqam - bu so'z. So'zlar bilan arifmetik va mantiqiy amallar arifmetik mantiq birligi (ALU) tomonidan bajariladi. Registrlarga kirishni soddalashtirish uchun ular raqamlangan. Raqam registr manzili deb ataladi. Misol uchun, agar siz 2 ta raqamni qo'shishingiz kerak bo'lsa, raqamlarning o'zi emas, balki ular joylashgan kataklarning (registrlarning) raqamlarini ko'rsatish kifoya. Manzillar sakkizlik va o'n oltilik tizimlarda yozilgan (ular quyida muhokama qilinadi), chunki ulardan ikkilik tizimga o'tish va aksincha. 2 -dan 8 -raqamgacha o'tish uchun o'ngdan chapga 3 -raqamli guruhlarga bo'linib, 16 -dan 4 -ga o'tish kerak. Agar eng chapdagi raqamlar guruhida raqamlar bo'lmasa, ular chapda nol bilan to'ldirilgan, ular etakchi deb ataladi. Misol sifatida 101100 2 raqamini olaylik. Sakkizlikda 101 100 = 54 8, o'n oltilikda esa 0010 1100 = 2C 16. Ajoyib, lekin nima uchun ekranda o'nlik raqamlar va harflarni ko'ramiz? Tugmani bosganingizda, kompyuterga ma'lum bir elektr impulslari ketma -ketligi uzatiladi, har bir belgi o'z elektr impulslarining ketma -ketligiga mos keladi (nol va bir). Klaviatura va ekran drayveri dasturi belgilar kodi jadvaliga qaraydi (masalan, 65536 belgini kodlay oladigan Unicode), natijada paydo bo'lgan kod qaysi belgiga mos kelishini aniqlaydi va uni ekranda ko'rsatadi. Shunday qilib, matnlar va raqamlar kompyuter xotirasida ikkilik kodda saqlanadi va dasturiy jihatdan ular ekrandagi tasvirlarga aylantiriladi.
Sakkizlik sanoq tizimi
8 -raqamli tizim, ikkilik kabi, ko'pincha raqamli texnologiyalarda ishlatiladi. Bu 8 -tayanch va raqamni ifodalash uchun 0 dan 7 gacha raqamlarni ishlatadi.Sakkizlik raqamiga misol: 254. 10 -tizimga o'tish uchun asl raqamning har bir raqamini 8 n ga ko'paytirish kerak, bu erda n - raqamli raqam. Ma'lum bo'lishicha, 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.
O'n oltilik sanoq tizimi
O'n oltilik tizim zamonaviy kompyuterlarda keng qo'llaniladi, masalan, bu rangni ko'rsatadi: #FFFFFF - oq. Ko'rib chiqilayotgan tizim 16 -bazaga ega va raqamlar yordamida yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, bu erda harflar joylashgan. Navbati bilan 10, 11, 12, 13, 14, 15.Misol sifatida 4F5 16 raqamini olaylik. Sakkizlik tizimga o'tish uchun - avval biz o'n oltilik sonni ikkilikka, so'ngra 3 raqamli guruhlarga bo'linib, sakkizlikga aylantiramiz. Raqamni 2 ga aylantirish uchun har bir raqam 4-bitli ikkilik raqam sifatida ko'rsatilishi kerak. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ammo 1 va 3 -guruhlarda joy yo'q, shuning uchun biz har birini etakchi nol bilan to'ldiramiz: 0100 1111 0101. Endi siz hosil bo'lgan sonni o'ngdan chapga 3 ta raqamli guruhlarga bo'lishingiz kerak: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Keling, har bir ikkilik guruhni har bir bitni 2 n ga ko'paytirib, sakkizlik tizimiga o'tkazamiz, bu erda n - bit raqami: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1) + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.
Ko'rib chiqilgan pozitsion sanoq tizimlaridan tashqari, boshqalar ham bor, masalan:
1) Uchlik
2) to'rtinchi davr
3) o'nli raqamlar
Pozitsion tizimlar bir hil va aralash bo'linadi.
Bir hil pozitsion sanoq sistemalari
Maqolaning boshida berilgan ta'rif bir hil tizimlarni to'liq tavsiflaydi, shuning uchun tushuntirish kerak emas.Aralash sanoq tizimlari
Berilgan ta'rifga biz quyidagi teoremani qo'shishimiz mumkin: “agar P = Q n (P, Q, n - musbat tamsayılar, P va Q - asoslar), keyin aralashdagi (PQ) har qanday sonning tasviri - sonlar tizimi xuddi shu raqamni Q bazasiga yozish bilan bir xil. "Teoremaga asoslanib, biz P -dan -ga o'tish qoidalarini shakllantirishimiz mumkin Q tizimlari va teskari:
- Q-chidan P-ga o'tish uchun, Q-sonli tizimdagi raqamni o'ng raqamdan boshlab n-raqamli guruhlarga bo'lish va har bir guruhni bitta raqam bilan almashtirish kerak. P-tizim.
- P-chidan Q-th-ga o'tish uchun, P-tizimdagi raqamlarning har bir raqamini Q-th-ga tarjima qilish va etishmayotgan raqamlarni chapdan tashqari, bosh nol bilan to'ldirish kerak, shunda har bir Q bazasidagi tizimdagi raqam n ta raqamdan iborat ...
Aralash sanoq tizimlari, masalan:
1) Faktorial
2) Fibonachchi
Bir sanoq sistemasidan boshqasiga tarjima
Ba'zida raqamni bitta sanoq sistemasidan boshqasiga o'tkazish kerak bo'ladi, shuning uchun biz turli tizimlar o'rtasida tarjima qilish usullarini ko'rib chiqamiz.O'nli kasrga aylantirish
B bazasida a 1 a 2 a 3 soni mavjud. 10 -tizimga o'tish uchun raqamning har bir raqamini b n ga ko'paytirish kerak, bu erda n - raqamli raqam. Shunday qilib (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Misol: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10
O'nlikdan boshqasiga o'tkazish
Butun qismi:- Biz kasr sonining butun qismini o'nlik kasr nolga aylanguniga qadar biz tarjima qiladigan tizim asosiga ajratamiz.
- Bo'linish yo'li bilan olingan qoldiqlar kerakli raqamning raqamlari hisoblanadi. Raqam yangi tizim oxirgi qoldiqdan boshlab qayd qilinadi.
- O'nli kasr sonining kasr qismi siz tarjima qilmoqchi bo'lgan tizim asosiga ko'paytiriladi. Biz butun qismini ajratamiz. Biz kasr qismini yangi tizim asosiga 0 ga teng bo'lguncha ko'paytirishda davom etamiz.
- Yangi tizimdagi raqamlar, ularni olish tartibiga mos ravishda ko'paytirish natijalarining butun qismlarini tashkil qiladi.
15 \ 8 = 1, qolgan 7
1 \ 8 = 0, qolgan 1
Qolgan qoldiqlarni pastdan yuqoriga yozib, biz oxirgi 17 raqamini olamiz. Shuning uchun, 15 10 = 17 8.
Ikkilikdan sakkizlik va o'n oltilikka o'tish
Sakkizlikka aylantirish uchun biz ikkilik raqamni o'ngdan chapga 3 ta raqamli guruhlarga ajratamiz va etishmayotgan ekstremal raqamlarni etakchi nol bilan to'ldiramiz. Keyinchalik, biz har bir guruhni raqamlarni ketma -ket 2 n ga ko'paytirish orqali o'zgartiramiz, bu erda n - bit raqami.Misol sifatida 1001 2 raqamini oling: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8
O'n oltilikka aylantirish uchun biz ikkilik sonni o'ngdan chapga 4 ta raqamli guruhlarga ajratamiz, keyin 2 -dan 8 -raqamgacha bo'lgani kabi.
Sakkizlik va o'n oltilik tizimlardan ikkilikka o'tish
Sakkizlikdan ikkilikka aylantirish - sakkizlik sonining har bir raqamini ikkiga bo'lish orqali 3 -bitli ikkilik raqamga aylantirish (bo'linish haqida batafsil ma'lumotni yuqoridagi "O'nli kasrdan boshqasiga o'tkazish" bandiga qarang), etishmayotgan ekstremal raqamlarni to'ldiring. etakchi nol bilan.Masalan, 45 8 raqamini ko'rib chiqing: 45 = (100) (101) = 100101 2
16 -dan 2 -gacha konversiya - biz o'n oltilik sonning har bir bitini 2 -ga bo'lish orqali 4 -bitli ikkilik raqamga aylantiramiz, etishmayotgan ekstremal raqamlarni etakchi nol bilan to'ldiramiz.
Har qanday sanoq sistemasining kasr qismini kasrga aylantiring
Konvertatsiya butun qismlar bilan bir xilda amalga oshiriladi, faqat raqamlarning raqamlari bazaga "-n" kuchiga ko'paytiriladi, bu erda n 1dan boshlanadi.
Misol: 101,011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 , 25 + 0.125) = 5.375 10
Ikkilik sistemaning kasr qismini 8 va 16 ga aylantiring
Kesirli qismning tarjimasi xuddi sonning butun qismlari singari amalga oshiriladi, faqat 3 va 4 raqamli guruhlarga bo'linish o'nli kasrning o'ng tomoniga o'tishi bundan mustasno, etishmayotgan raqamlar qo'shiladi. o'ngda nol bilan.Misol: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11,2 8
O'nli kasr sistemasining kasr qismini boshqasiga aylantiring
Raqamning kasr qismini boshqa sanoq sistemalariga tarjima qilish uchun siz butun sonni nolga aylantirishingiz va natijada olingan sonni tarjima qilmoqchi bo'lgan tizim asosiga ko'paytirishni boshlashingiz kerak. Agar ko'paytirish natijasida butun sonlar yana paydo bo'lsa, ularni nolga qaytarish kerak, natijada hosil bo'lgan butun qismning qiymatini oldindan eslab (yozib). Fraksiyonel qism to'liq yo'qolganda operatsiya tugaydi.Masalan, 10.625 10 ni ikkilikka aylantiramiz:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Qolgan qoldiqlarni yuqoridan pastgacha yozib, biz 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2 olamiz.